Luas Bangun Datar

Luas Bangun Datar

Segitiga

• Rumus umum (alas dan tinggi):

  $$A = \frac{b \cdot h}{2}$$

• Rumus Heron (sisi-sisi):

  $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

  dengan $s = \frac{a + b + c}{2}$ adalah semiperimeter.

Segitiga Lancip

Diketahui dua sisi ($a$, $b$) dan alas $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{a^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c} \right)^2}$$

Segitiga Tumpul

Diketahui dua sisi ($a$, $b$) dan alas $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{b^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{2c} \right)^2}$$

Segitiga Sama Sisi

• Dengan sisi $a$ dan tinggi $h$:

  $$A = \frac{a \cdot h}{2}$$

  $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

• Dalam fungsi sisi $a$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• Dalam fungsi tinggi $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$

• Dalam fungsi diameter $d$ lingkaran luar:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{16} d^2$$

• Dalam fungsi jari-jari $r$ lingkaran dalam:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2$$

Persegi

• Dalam fungsi sisi $l$:

  $$A = l^2$$

  $$l = \sqrt{A}$$

• Dalam fungsi diagonal $d$:

  $$d = l \cdot \sqrt{2}$$

  $$A = \frac{d^2}{2}$$

• Dalam fungsi jari-jari $r$ lingkaran dalam:

  $$A = (2r)^2 = 4r^2$$

Persegi Panjang

$$A = b \cdot h$$

$$d = \sqrt{b^2 + h^2}$$

(dengan $d$ sebagai diagonal, $b$ alas, dan $h$ tinggi)

Jajar Genjang

• Luas:

  $$A = b \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

• Diagonal:

  $$d_1 = \sqrt{(a + h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

  $$d_2 = \sqrt{(a - h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

Trapesium

• Luas:

  $$A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h = m \cdot h$$

  (dengan $B$ dan $b$ sebagai sisi sejajar (alas), $h$ tinggi, dan $m$ garis tengah)

• Garis tengah:

  $$m = \frac{B + b}{2}$$

Segi Empat Tidak Beraturan

Dapat dihitung dengan membaginya menjadi segitiga-segitiga:

$$A = \frac{a(H+h)+d \cdot h + e \cdot H}{2}$$

Segi Lima Beraturan

• Dalam fungsi jari-jari $R$ lingkaran luar:

  $$A = \frac{5}{8} R^2 \cdot \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$$

  $$A = \frac{5}{2}R^2 \cdot \sin 72^\circ$$

• Dalam fungsi sisi $a$:

  $$A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} \cdot a^2$$

• Dalam fungsi apotema $a_{p}$:

  $$A = 5a_{p}^2 \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$$

  dengan apotema adalah:

  $$a_{p}= \frac{a}{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

Segi Enam Beraturan

• Dalam fungsi sisi $a$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

• Dalam fungsi tinggi antar sisi sejajar $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{2} h^2$$

• Dalam fungsi diagonal terpanjang $d$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} d^2$$

• Hubungan penting:
  Sisi $a$ sama dengan jari-jari $R$ lingkaran luar: $a = R$.
  Tinggi antar sisi sejajar adalah: $h = \sqrt{3} \cdot a$.
  Diagonal terpanjang adalah: $d = 2a$.

Segi Delapan Beraturan

• Luas dalam fungsi sisi $a$ dan apotema $a_{p}$:

  $$A = \frac{P \cdot a_{p}}{2} = 4 \cdot a \cdot a_{p}$$

• Keliling:

  $$P = 8a$$

• Apotema:

  $$a_{p} = \frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\pi}{8}$$

• Rumus perkiraan umum:

  $$A = \frac{8a^2}{4\tan \frac{\pi}{8}} \approx 4.828 \cdot a^2$$

  $$A \approx 0.828 \cdot s^2$$

  (dengan $s$ sebagai lebar antara sisi sejajar)

Poligon Tidak Beraturan

Dekomposisi menjadi segitiga-segitiga dan jumlahkan luasnya:

$$A_{\text{total}} = A_1 + A_2 + A_3 + \dots$$

$$A_{\text{total}} = \frac{a h_1 + b h_2 + b h_3 \dots}{2}$$

---

Luas Lingkaran dan Bagian Lingkaran

Lingkaran

• Luas dalam fungsi diameter $d$:

  $$A = \frac{\pi}{4} d^2$$

• Luas dalam fungsi jari-jari $r$:

  $$A = \pi r^2$$

Kuadran dan Segitiga Cekung

• Luas kuadran:

  $$A = \frac{\pi}{16} d^2$$

  $$A = \frac{\pi}{4} r^2$$

• Luas segitiga cekung:

  $$A' = \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) r^2$$

(dengan $r$ sebagai jari-jari dan $d$ diameter)

Juring Lingkaran

• Luas (sudut dalam derajat $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ}$$

• Luas (sudut dalam radian $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{2} r^2$$

• Panjang busur $L$:

  $$L = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} = \theta \cdot r$$

Tembereng Lingkaran

Daerah antara tali busur dan busurnya. Dihitung dengan mengurangkan luas juring dengan luas segitiga sama kaki yang dibentuk oleh jari-jari dan tali busur.

$$A = \frac{r^2}{2} (\theta - \sin \theta)$$

(dengan $\theta$ dalam radian)

Cincin Lingkaran

• Luas dalam fungsi diameter:

  $$A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)$$

• Luas dalam fungsi jari-jari:

  $$A = \pi (R^2 - r^2)$$

(dengan $R$ dan $r$ sebagai jari-jari luar dan dalam, $D$ dan $d$ diameter luar dan dalam)

Juring Cincin Lingkaran

• Luas (sudut dalam derajat $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi \cdot \alpha^\circ}{4 \cdot 360^\circ} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\pi \alpha^\circ}{360^\circ} (R^2 - r^2)$$

• Luas (sudut dalam radian $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{8} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\theta}{2} (R^2 - r^2)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III