Áreas de Figuras Planas

Área de figuras planas

Triángulo

• Fórmula general (base y altura):

  $$A = \frac{b \cdot h}{2}$$

• Fórmula de Herón (lados):

  $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

  donde $s = \frac{a + b + c}{2}$ es el semiperímetro.

Triángulo Acutángulo

Conocidos dos lados ($a$, $b$) y la base $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{a^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c} \right)^2}$$

Triángulo Obtusángulo

Conocidos dos lados ($a$, $b$) y la base $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{b^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{2c} \right)^2}$$

Triángulo Equilátero

• Con lado $a$ y altura $h$:

  $$A = \frac{a \cdot h}{2}$$

  $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

• En función del lado $a$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• En función de la altura $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$

• En función del diámetro $d$ de la circunferencia circunscrita:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{16} d^2$$

• En función del radio $r$ de la circunferencia inscrita:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2$$

Cuadrado

• En función del lado $l$:

  $$A = l^2$$

  $$l = \sqrt{A}$$

• En función de la diagonal $d$:

  $$d = l \cdot \sqrt{2}$$

  $$A = \frac{d^2}{2}$$

• En función del radio $r$ de la circunferencia inscrita:

  $$A = (2r)^2 = 4r^2$$

Rectángulo

$$A = b \cdot h$$

$$d = \sqrt{b^2 + h^2}$$

(donde $d$ es la diagonal, $b$ la base y $h$ la altura)

Paralelogramo

• Área:

  $$A = b \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

• Diagonales:

  $$d_1 = \sqrt{(a + h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

  $$d_2 = \sqrt{(a - h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

Trapecio

• Área:

  $$A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h = m \cdot h$$

  (donde $B$ y $b$ son las bases, $h$ la altura y $m$ la base media)

• Base media:

  $$m = \frac{B + b}{2}$$

Trapezoide (o Cuadrilátero Irregular)

Se puede calcular dividiéndolo en triángulos:

$$A = \frac{a(H+h)+d \cdot h + e \cdot H}{2}$$

Pentágono Regular

• En función del radio $R$ de la circunferencia circunscrita:

  $$A = \frac{5}{8} R^2 \cdot \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$$

  $$A = \frac{5}{2}R^2 \cdot \sin 72^\circ$$

• En función del lado $a$:

  $$A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} \cdot a^2$$

• En función de la apotema $a_{p}$:

  $$A = 5a_{p}^2 \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$$

  donde la apotema es:

  $$a_{p}= \frac{a}{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

Hexágono Regular

• En función del lado $a$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

• En función de la altura entre lados paralelos $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{2} h^2$$

• En función de la diagonal mayor $d$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} d^2$$

• Relaciones importantes:
  El lado $a$ es igual al radio $R$ de la circunferencia circunscrita: $a = R$.
  La altura entre lados paralelos es: $h = \sqrt{3} \cdot a$.
  La diagonal mayor es: $d = 2a$.

Octágono Regular

• Área en función del lado $a$ y el apotema $a_{p}$:

  $$A = \frac{P \cdot a_{p}}{2} = 4 \cdot a \cdot a_{p}$$

• Perímetro:

  $$P = 8a$$

• Apotema:

  $$a_{p} = \frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\pi}{8}$$

• Fórmulas aproximadas comunes:

  $$A = \frac{8a^2}{4\tan \frac{\pi}{8}} \approx 4.828 \cdot a^2$$

  $$A \approx 0.828 \cdot s^2$$

  (donde $s$ es la anchura entre lados paralelos)

Polígono Irregular

Se descompone en triángulos y se suman sus áreas:

$$A_{\text{total}} = A_1 + A_2 + A_3 + \dots$$

$$A_{\text{total}} = \frac{a h_1 + b h_2 + b h_3 \dots}{2}$$

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Área del círculo y secciones del círculo

Círculo

• Área en función del diámetro $d$:

  $$A = \frac{\pi}{4} d^2$$

• Área en función del radio $r$:

  $$A = \pi r^2$$

Cuadrante y triángulo cóncavo

• Área del cuadrante:

  $$A = \frac{\pi}{16} d^2$$

  $$A = \frac{\pi}{4} r^2$$

• Área del triángulo cóncavo:

  $$A' = \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) r^2$$

(donde $r$ es el radio y $d$ el diámetro)

Sector Circular

• Área (ángulo en grados $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ}$$

• Área (ángulo en radianes $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{2} r^2$$

• Longitud de arco $L$:

  $$L = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} = \theta \cdot r$$

Segmento Circular

Es el área entre una cuerda y su arco. Se calcula restando al área del sector el área del triángulo isósceles formado por los radios y la cuerda.

$$A = \frac{r^2}{2} (\theta - \sin \theta)$$

(donde $\theta$ está en radianes)

Corona Circular

• Área en función del diámetro:

  $$A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)$$

• Área en función del radio:

  $$A = \pi (R^2 - r^2)$$

(donde $R$ y $r$ son los radios, $D$ y $d$ los diámetros)

Sector de Corona Circular (Trapecio Circular)

• Área (ángulo en grados $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi \cdot \alpha^\circ}{4 \cdot 360^\circ} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\pi \alpha^\circ}{360^\circ} (R^2 - r^2)$$

• Área (ángulo en radianes $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{8} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\theta}{2} (R^2 - r^2)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III