Factorización de polinomios

Aspa Doble Especial

Procedimiento:

::::steps
:::step[Ordenar el polinomio]
Escribir el polinomio en la forma estándar:

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F$$

Asegurarse que todos los términos estén del mismo lado (igualado a cero implícitamente).
:::

:::step[Factorizar la parte cuadrática]
Usar aspa simple para factorizar solo los términos cuadráticos:

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 = (m_1x + n_1y)(m_2x + n_2y)$$

Debe cumplir:

• $m_1 \cdot m_2 = A$
• $n_1 \cdot n_2 = C$
• $m_1n_2 + m_2n_1 = B$
  :::

:::step[Plantear la forma general]
Agregar términos constantes a cada factor:

$$(m_1x + n_1y + p)(m_2x + n_2y + q)$$

Donde $p$ y $q$ son constantes por determinar.
:::

:::step[Formar el sistema de ecuaciones]
Al expandir la forma general e igualar coeficientes:

1. Coeficiente de $x$: $m_1q + m_2p = D$
2. Coeficiente de $y$: $n_1q + n_2p = E$
3. Término independiente: $p \cdot q = F$
   :::

:::step[Resolver el sistema]
Encontrar $p$ y $q$ que satisfagan las tres ecuaciones. Normalmente se buscan soluciones enteras primero.
:::

:::step[Verificar la factorización]
Multiplicar los factores obtenidos para confirmar que reconstruyen el polinomio original.
:::
::::

Ejemplo

Factorizar: $15x^2 - 22xy + 24x + 8y^2 - 16y$

Paso 1: Ya ordenado: $15x^2 - 22xy + 8y^2 + 24x - 16y$

Paso 2: Factorizar parte cuadrática:

$$15x^2 - 22xy + 8y^2 = (5x - 4y)(3x - 2y)$$

Verificación: $(5)(-2) + (-4)(3) = -10 - 12 = -22$ ✓

Paso 3: Forma general: $(5x - 4y + p)(3x - 2y + q)$

Paso 4: Sistema de ecuaciones:

1. Término en $x$: $5q + 3p = 24$
2. Término en $y$: $-4q - 2p = -16$ → $4q + 2p = 16$ → $2q + p = 8$
3. Término independiente: $p \cdot q = 0$

Paso 5: Resolver:
De (2): $p = 8 - 2q$
Sustituir en (1): $5q + 3(8 - 2q) = 24$
$5q + 24 - 6q = 24$ → $-q = 0$ → $q = 0$
Entonces $p = 8 - 0 = 8$

Paso 6: Verificación:
$(5x - 4y + 8)(3x - 2y + 0)$
Expandir:

• $15x^2$ ✓
• $-22xy$ ✓
• $8y^2$ ✓
• $24x$ ✓
• $-16y$ ✓

Resultado:

$$(5x - 4y + 8)(3x - 2y)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III