La Línea Recta

Definición

Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que siguen una dirección constante.

Ángulo de inclinación

El ángulo de inclinación $\theta$ de una recta es el ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje positivo de las $x$ hasta la recta, tal que $0^\circ \leq \theta < 180^\circ$.

Pendiente de una recta

La pendiente $m$ de una recta se define como la tangente de su ángulo de inclinación:

$$\Large \boxed{m = \tan \theta}$$

:::hint[Observaciones:]

1. Si $\theta < 90^\circ$, entonces $m > 0$ → la recta es creciente.
   
2. Si $\theta > 90^\circ$, entonces $m < 0$ → la recta es decreciente.
   
3. Si $\theta = 90^\circ$, entonces $m$ no está definida → la recta es vertical.
   :::

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Formas de la ecuación de una recta

Forma punto-pendiente

Dado un punto $P_1(x_1, y_1)$ y una pendiente $m$:

$$\Large \boxed{y - y_1 = m(x - x_1)}$$

Forma de dos puntos (forma cartesiana)

Dados dos puntos distintos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$, con $x_1 \ne x_2$:

$$\Large \boxed{y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)}$$

Forma pendiente-ordenada al origen

Dada la pendiente $m$ y la ordenada al origen $b$ (punto donde la recta corta al eje $y$):

$$\Large \boxed{y = mx + b}$$

Donde:

• $m$: pendiente
• $b$: ordenada al origen

Forma segmentaria (forma simétrica)

Si la recta corta al eje $x$ en $(a, 0)$ y al eje $y$ en $(0, b)$, con $a \ne 0$ y $b \ne 0$:

$$\Large \boxed{\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1}$$

Donde:

• $a$: abscisa al origen
• $b$: ordenada al origen

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Forma general de la ecuación de una recta

Toda recta puede escribirse como:

$$\Large \boxed{Ax + By + C = 0}$$

donde $A, B, C \in \mathbb{R}$, y no todos son cero.

:::hint[Casos especiales:]

1. Si $A = 0$, $B \ne 0$, $C \ne 0$:
   $\Rightarrow y = -\dfrac{C}{B}$ → recta horizontal (paralela al eje $x$).
2. Si $B = 0$, $A \ne 0$, $C \ne 0$:
   $\Rightarrow x = -\dfrac{C}{A}$ → recta vertical (paralela al eje $y$).
3. Si $A \ne 0$, $B \ne 0$:
   $\Rightarrow y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$ → forma pendiente-ordenada, con pendiente $m = -\dfrac{A}{B}$.
   :::

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Ángulo entre dos rectas

Dadas dos rectas con pendientes $m_1$ y $m_2$, el ángulo agudo $\theta$ entre ellas es:

$$\Large \boxed{\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|}$$

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Posiciones relativas de dos rectas

Sean las rectas:

$$\begin{aligned} \mathscr{L}_1 &: A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ \mathscr{L}_2 &: A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{aligned}$$

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes cumplen $m_1 \cdot m_2 = -1$. En términos de coeficientes:

$$\Large \boxed{A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0}$$

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente:

$$\Large \boxed{m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}}$$

$$\quad \text{si } A_2, B_2 \ne 0$$

Rectas coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus coeficientes son proporcionales:

$$\Large \boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}}$$

Rectas oblicuas (secantes)

Dos rectas se intersectan en un único punto si no son paralelas:

$$\Large \boxed{A_1 B_2 - A_2 B_1 \ne 0}$$

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Forma normal de la ecuación de una recta

La forma normal de una recta es:

$$\Large \boxed{ x \cos \omega + y \sin \omega - p = 0}$$

Donde:

• $\omega$: ángulo entre el vector normal y el semieje positivo de las $x$ ($0^\circ \leq \omega < 360^\circ$)
• $p$: distancia perpendicular desde el origen a la recta (siempre $p \geq 0$)

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Conversión de la forma general a la forma normal

Dada $Ax + By + C = 0$, se divide entre $\sqrt{A^2 + B^2}$, eligiendo el signo opuesto al de $C$ para garantizar $p \geq 0$:

$$\frac{A}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}x + \frac{B}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}y + \frac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} = 0$$

El signo se elige de modo que $\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \leq 0$, lo que asegura que $p = -\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \geq 0$.

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Aplicaciones de la forma normal

Distancia de un punto a una recta (distancia absoluta)

Dado un punto $P_1(x_1, y_1)$ y una recta $Ax + By + C = 0$, la distancia perpendicular (siempre no negativa) es:

$$\Large \boxed{d(P_1, \mathscr{L}) = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}$$

Distancia dirigida de un punto a una recta

La distancia dirigida $d$ lleva un signo que depende de la orientación del vector normal $(A, B)$:

$$\Large \boxed{d = \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}}$$

Casos especiales:

1. Recta que no pasa por el origen ($C \ne 0$):

   • $d > 0$ si $P_1$ y el origen están en lados opuestos de la recta.
   • $d < 0$ si están en el mismo lado.

   

2. Recta que pasa por el origen ($C = 0$):

   • $d > 0$ si $P_1$ está "por encima" de la recta (en la dirección de $(A, B)$).
   • $d < 0$ si está "por debajo".

   

Bisectrices del ángulo formado por dos rectas secantes

Dadas dos rectas $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ y $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$, las bisectrices son el lugar geométrico de los puntos equidistantes a ambas rectas:

$$\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$$

Al eliminar los valores absolutos se obtienen las dos bisectrices:

$$\Large \boxed{\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}}$$

Distancia entre dos rectas paralelas

Dadas dos rectas paralelas $\mathscr{L}_1: Ax + By + C_1 = 0$ y $\mathscr{L}_2: Ax + By + C_2 = 0$ (mismos $A$ y $B$), la distancia entre ellas es:

$$\Large \boxed{d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}$$

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Área de un triángulo

Dados tres vértices $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$, el área del triángulo es:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$

O usando un determinante:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|$$

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Forma determinante de la recta que pasa por dos puntos

Dados $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$, la ecuación de la recta es:

$$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0$$

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Familias de rectas

Familia de rectas paralelas a una dada

Dada $Ax + By + C = 0$, la familia de rectas paralelas es:

$$\Large \boxed{Ax + By + k = 0}$$

para $k \in \mathbb{R}$

Familia de rectas perpendiculares a una dada

Si una recta dada tiene pendiente $m$, todas las rectas perpendiculares tienen pendiente $-\dfrac{1}{m}$. Si pasan por un punto fijo $(x_0, y_0)$:

$$\Large \boxed{y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)}$$

:::hint[En forma general:]
si la recta original es $Ax + By + C = 0$, entonces todas las rectas perpendiculares tienen la forma $Bx - Ay + k = 0$.
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Familia de rectas concurrentes en un punto

Dadas dos rectas secantes $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ y $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$, la familia de todas las rectas que pasan por su punto de intersección es:

$$\Large \boxed{A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0 }$$

para $\lambda \in \mathbb{R}$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III