Conceptos fundamentales

Plano Cartesiano

• Sistema de coordenadas rectangulares: ejes $x$ (abscisas) y $y$ (ordenadas)
• Origen: punto $(0,0)$

Cuadrantes

• Cuatro cuadrantes numerados I a IV en sentido antihorario
• Signos:
  • Cuadrante I: $(+,+)$
  • Cuadrante II: $(-,+)$
  • Cuadrante III: $(-,-)$
  • Cuadrante IV: $(+,-)$

Puntos

• Representación: $P(x,y)$
  
• Puntos especiales:
  • Origen: $O(0,0)$
  • Sobre eje $x$: $(a,0)$
  • Sobre eje $y$: $(0,b)$

Distancia entre dos puntos

Para $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$:

$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$

Distancia entre dos puntos en coordenadas polares

Dados dos puntos en coordenadas polares:

• $P_1(r_1, \theta_1)$
• $P_2(r_2, \theta_2)$
  

La distancia $d$ entre ellos es:

$$d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)}$$

Punto Medio

Punto medio $M$ entre $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

División de un segmento en una razón dada

Punto $P$ que divide al segmento $P_1P_2$ en razón $\frac{P_1P}{PP_2}=\frac{m}{n}=\lambda$:

$$x=\frac{nx_1+mx_2}{n+m}=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\quad y=\frac{ny_1+my_2}{n+m}=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}$$

$$P\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }, \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\right)$$

Coordenadas del centroide de un Triángulo

$$x=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$

$$y=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$$

Área de un triángulo

Dados los vértices $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ y $(x_3, y_3)$, el área es:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|$$

Donde el determinante se calcula como:

$$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} = x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + 1(x_2 y_3 - x_3 y_2)$$

Pero en la práctica, se simplifica a:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \big| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \big|$$

title: Ejemplo
Sean los vértices $P_1(2, 4)$, $P_2(5, 6)$ y $P_3(3, 1)$:
1. **Construye la matriz**:
  $$ \begin{vmatrix}
   2 & 4 & 1 \\
   5 & 6 & 1 \\
   3 & 1 & 1 \\
   \end{vmatrix} $$

2. **Calcula el determinante** (regla de Sarrus):
$$= 2(6 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 4(5 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + 1(5 \cdot 1 - 3 \cdot 6)$$
$$= 2(6 - 1) - 4(5 - 3) + 1(5 - 18)$$
$$= 2(5) - 4(2) + 1(-13) = 10 - 8 - 13 = -11$$
3. **Toma el valor absoluto y divide entre 2**:
$$\text{Área} = \frac{1}{2} |-11| = 5.5 u^2$$

Área de un polígono

Fórmula General (Shoelace)

Para vértices $(x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)$ 
$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i y_{i+1} \right) - \sum_{i=1}^{n} \left( y_i x_{i+1} \right) \right|
$$
donde:
- $x_{n+1} = x_1$ y $y_{n+1} = y_1$ (cierra el polígono).
- Los vértices deben estar ordenados **en sentido horario o antihorario** (sin cruces).

Pasos para aplicar la fórmula:

1. Lista ordenada de vértices: Escribe las coordenadas en orden (ej: $P_1 \to P_2 \to P_3 \to \dots \to P_1$).
2. Suma 1 ($\Sigma_1$): Multiplica cada $x_i$ por la $y$ del siguiente vértice ($y_{i+1}$) y súmalos.
3. Suma 2 ($\Sigma_2$): Multiplica cada $y_i$ por la $x$ del siguiente vértice ($x_{i+1}$) y súmalos.
4. Resta y valor absoluto: Calcula $|\Sigma_1 - \Sigma_2|$ y divide entre 2.

title: Ejemplo
Vértices en orden: $P_{1}(2, 4)$, $P_{2}(5, 6)$, $P_{3}(3, 1)$, $P_{4}(1, 2)$.  
1. **Cierra el polígono repitiendo $P_{1}$ al final:**  
$$(2,4), (5,6), (3,1), (1,2), (2,4)$$
2. **Calcula $\Sigma_1$ (diagonales hacia abajo ➘):**  
$(2 \times 6) + (5 \times 1) + (3 \times 2) + (1 \times 4) = 12 + 5 + 6 + 4 = 27$
3. **Calcula $\Sigma_2$ (diagonales hacia arriba ➚):**  
$(4 \times 5) + (6 \times 3) + (1 \times 1) + (2 \times 2) = 20 + 18 + 1 + 4 = 43$
4. **Área:**  
$$\text{Área} = \frac{1}{2} |27 - 43| = \frac{16}{2} = 8 u^2$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III