La Circunferencia

Definición

Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante del centro a cualquier punto de la circunferencia se denomina radio.

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Elementos de la circunferencia

![Elementos de la circunferencia](https://res.cloudinary.com/dze1acg2c/image/upload/v1766501620/equationzone/sa9eg8jjqzul5sszd3co.png)
- **Centro** ($C$): Punto interior fijo del cual todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia.
- **Radio** ($r = CU$): Distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.
- **Diámetro** ($d$): Cuerda que pasa por el centro. Cumple $d = 2r$.
- **Cuerda** ($\overline{MN}$): Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
- **Arco**: Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
- **Tangente**: Recta que corta a la circunferencia en **exactamente un punto**.
- **Secante**: Recta que corta a la circunferencia en **dos puntos distintos**.

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Ecuaciones de la circunferencia

1. Forma ordinaria (centro en $(h, k)$)

$$\boxed{\mathscr{C}:(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2}$$

Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en $(h, k)$ y radio $r > 0$.

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2. Forma canónica (centro en el origen)

$$\boxed{\mathscr{C}: x^2 + y^2 = r^2}$$

Casos especiales:

• Si $r = 1$: $x^2 + y^2 = 1$ → la circunferencia unitaria.
• Si $r = 0$: $x^2 + y^2 = 0$ → representa únicamente el punto $(0, 0)$.

Circunferencias tangentes a los ejes coordenados

• Tangente al eje $x$:
  Centro en $(h, k)$, radio $r = |k|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$$

  

• Tangente al eje $y$:
  Centro en $(h, k)$, radio $r = |h|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = h^2$$

  

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3. Ecuaciones paramétricas

Dado el centro $C = (x_0, y_0)$ y el radio $r$, cualquier punto $M$ de la circunferencia puede expresarse como:

$$\begin{cases} x = x_0 + r \cos \theta \\ y = y_0 + r \sin \theta \end{cases} \quad \text{con } \theta \in [0, 2\pi)$$

donde $\theta$ es el ángulo medido desde el eje $x$ positivo.

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4. Ecuación polar

• Circunferencia general (centro en $(\rho_0, \varphi_0)$, radio $r$):

$$\rho^2 - 2\rho\rho_0\cos(\varphi - \varphi_0) + \rho_0^2 = r^2$$

title: Nota:
Algunos textos usan un signo más, pero la forma anterior se ajusta a la ley de cosenos y se prefiere por consistencia.

• Caso especial: Circunferencia que pasa por el polo con centro en el eje polar ($\varphi = 0$):

$$\boxed{\rho = 2r \cos \varphi}$$

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5. Forma general de la ecuación

$$\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0}$$

• Centro: $\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)$
• Radio: $r = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F}$

title: Condición para que sea una circunferencia real
$$\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F > 0$$
- Si la expresión es igual a cero, la ecuación representa una **circunferencia puntual**.
- Si es negativa, representa una **circunferencia imaginaria** (sin puntos reales).

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Determinación de una circunferencia

Se requieren tres condiciones independientes para determinar una circunferencia de forma única. Algunos casos comunes son:

• Tres puntos no colineales.
• Centro y radio.
• Centro y un punto de la circunferencia.
• Dos puntos y la recta tangente en uno de ellos.
• Un punto y dos rectas tangentes.

Se sustituyen las condiciones dadas en la forma ordinaria o general y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante.

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Familias de circunferencias

Dadas dos circunferencias:

$$\begin{aligned} \mathscr{C}_1 &: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 \\ \mathscr{C}_2 &: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 \end{aligned}$$

La familia de todas las circunferencias que pasan por sus puntos de intersección es:

$$\mathscr{C}_1 + \lambda \mathscr{C}_2 = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R},\ \lambda \ne -1)$$

Equivalentemente:

$$x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0$$

title: Nota:
La ecuación $\mathscr{C}_1 - \mathscr{C}_2 = 0$ da lugar al **eje radical**: la recta formada por todos los puntos que tienen igual potencia respecto a ambas circunferencias.

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Rectas tangentes a una circunferencia

1. Tangente en un punto $P(x_1, y_1)$ de la circunferencia

• Circunferencia centrada en el origen ($x^2 + y^2 = r^2$):

$$x x_1 + y y_1 = r^2$$

• Circunferencia con centro en $(h, k)$:

$$(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2$$

2. Condición de tangencia para una recta

Dada una recta $Ax + By + C = 0$ y una circunferencia con centro $(h, k)$ y radio $r$, la recta es tangente si y solo si la distancia perpendicular del centro a la recta es igual al radio:

$$\frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r$$

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Transformaciones de coordenadas

1. Traslación de ejes

Si los ejes coordenados se trasladan de modo que el nuevo origen esté en $(h, k)$, las coordenadas se relacionan mediante:

$$\begin{cases} x = x' + h \\ y = y' + k \end{cases} \quad \text{o inversamente} \quad \begin{cases} x' = x - h \\ y' = y - k \end{cases}$$

Esta transformación elimina los términos lineales en la ecuación general, simplificándola a su forma canónica.

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2. Rotación de ejes

Al rotar los ejes un ángulo $\theta$, las coordenadas originales $(x, y)$ y las nuevas $(x', y')$ se relacionan por:

$$\begin{cases} x = x' \cos\theta - y' \sin\theta \\ y = x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{cases}$$

3. Eliminación del término $xy$ en secciones cónicas

Para una ecuación cuadrática general

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$$

el término mixto $xy$ se elimina al rotar los ejes un ángulo $\theta$ que satisface:

$$\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} \quad \text{(si } A \ne C\text{)}$$

Si $A = C$, entonces $\theta = 45^\circ$.

title: Nota:
Aunque la **circunferencia nunca contiene un término $xy$** (debido a su simetría rotacional), esta técnica es esencial para analizar otras secciones cónicas y se incluye aquí por completitud en el contexto de transformaciones de coordenadas.

Practice Problems

Level I

Level II

Level III