Aree delle Figure Piane

Area delle Figure Piane

Triangolo

• Formula generale (base e altezza):

  $$A = \frac{b \cdot h}{2}$$

• Formula di Erone (lati):

  $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

  dove $s = \frac{a + b + c}{2}$ è il semiperimetro.

Triangolo Acutangolo

Noti due lati ($a$, $b$) e la base $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{a^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c} \right)^2}$$

Triangolo Ottusangolo

Noti due lati ($a$, $b$) e la base $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{b^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{2c} \right)^2}$$

Triangolo Equilatero

• Con lato $a$ e altezza $h$:

  $$A = \frac{a \cdot h}{2}$$

  $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

• In funzione del lato $a$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• In funzione dell'altezza $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$

• In funzione del diametro $d$ della circonferenza circoscritta:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{16} d^2$$

• In funzione del raggio $r$ della circonferenza inscritta:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2$$

Quadrato

• In funzione del lato $l$:

  $$A = l^2$$

  $$l = \sqrt{A}$$

• In funzione della diagonale $d$:

  $$d = l \cdot \sqrt{2}$$

  $$A = \frac{d^2}{2}$$

• In funzione del raggio $r$ della circonferenza inscritta:

  $$A = (2r)^2 = 4r^2$$

Rettangolo

$$A = b \cdot h$$

$$d = \sqrt{b^2 + h^2}$$

(dove $d$ è la diagonale, $b$ la base e $h$ l'altezza)

Parallelogramma

• Area:

  $$A = b \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

• Diagonali:

  $$d_1 = \sqrt{(a + h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

  $$d_2 = \sqrt{(a - h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

Trapezio

• Area:

  $$A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h = m \cdot h$$

  (dove $B$ e $b$ sono le basi, $h$ l'altezza e $m$ la base media)

• Base media:

  $$m = \frac{B + b}{2}$$

Quadrilatero Irregolare

Può essere calcolato dividendolo in triangoli:

$$A = \frac{a(H+h)+d \cdot h + e \cdot H}{2}$$

Pentagono Regolare

• In funzione del raggio $R$ della circonferenza circoscritta:

  $$A = \frac{5}{8} R^2 \cdot \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$$

  $$A = \frac{5}{2}R^2 \cdot \sin 72^\circ$$

• In funzione del lato $a$:

  $$A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} \cdot a^2$$

• In funzione dell'apotema $a_{p}$:

  $$A = 5a_{p}^2 \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$$

  dove l'apotema è:

  $$a_{p}= \frac{a}{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

Esagono Regolare

• In funzione del lato $a$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

• In funzione dell'altezza tra lati paralleli $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{2} h^2$$

• In funzione della diagonale maggiore $d$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} d^2$$

• Relazioni importanti:
  Il lato $a$ è uguale al raggio $R$ della circonferenza circoscritta: $a = R$.
  L'altezza tra lati paralleli è: $h = \sqrt{3} \cdot a$.
  La diagonale maggiore è: $d = 2a$.

Ottagono Regolare

• Area in funzione del lato $a$ e dell'apotema $a_{p}$:

  $$A = \frac{P \cdot a_{p}}{2} = 4 \cdot a \cdot a_{p}$$

• Perimetro:

  $$P = 8a$$

• Apotema:

  $$a_{p} = \frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\pi}{8}$$

• Formule approssimate comuni:

  $$A = \frac{8a^2}{4\tan \frac{\pi}{8}} \approx 4.828 \cdot a^2$$

  $$A \approx 0.828 \cdot s^2$$

  (dove $s$ è la distanza tra i lati paralleli)

Poligono Irregolare

Si scompone in triangoli e si sommano le loro aree:

$$A_{\text{totale}} = A_1 + A_2 + A_3 + \dots$$

$$A_{\text{totale}} = \frac{a h_1 + b h_2 + b h_3 \dots}{2}$$

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Area del Cerchio e Parti del Cerchio

Cerchio

• Area in funzione del diametro $d$:

  $$A = \frac{\pi}{4} d^2$$

• Area in funzione del raggio $r$:

  $$A = \pi r^2$$

Quadrante e Triangolo Convesso

• Area del quadrante:

  $$A = \frac{\pi}{16} d^2$$

  $$A = \frac{\pi}{4} r^2$$

• Area del triangolo convesso:

  $$A' = \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) r^2$$

(dove $r$ è il raggio e $d$ il diametro)

Settore Circolare

• Area (angolo in gradi $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ}$$

• Area (angolo in radianti $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{2} r^2$$

• Lunghezza dell'arco $L$:

  $$L = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} = \theta \cdot r$$

Segmento Circolare

È l'area compresa tra una corda e il suo arco. Si calcola sottraendo dall'area del settore l'area del triangolo isoscele formato dai raggi e dalla corda.

$$A = \frac{r^2}{2} (\theta - \sin \theta)$$

(dove $\theta$ è in radianti)

Corona Circolare

• Area in funzione del diametro:

  $$A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)$$

• Area in funzione del raggio:

  $$A = \pi (R^2 - r^2)$$

(dove $R$ e $r$ sono i raggi, $D$ e $d$ i diametri)

Settore di Corona Circolare

• Area (angolo in gradi $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi \cdot \alpha^\circ}{4 \cdot 360^\circ} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\pi \alpha^\circ}{360^\circ} (R^2 - r^2)$$

• Area (angolo in radianti $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{8} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\theta}{2} (R^2 - r^2)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III