Nozioni Preliminari

Addizione e Sottrazione

Proprietà distributiva

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Moltiplicazione

Regola dei segni

(+)⋅(+)=(+)(+)\cdot(+) = (+)

(−)⋅(+)=(−)(-)\cdot(+) = (-)

(+)⋅(−)=(−)(+)\cdot(-) = (-)

(−)⋅(−)=(+)(-)\cdot(-) = (+)

Proprietà associativa

a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c 

title: Proprietà delle potenze  
$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$  
$$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$$  
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$  
$$(a^{\alpha} \cdot b^{\beta})^n = a^{\alpha n} \cdot b^{\beta n}$$

Identità notevoli

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

Divisione

Regola dei segni

(+)(+)=(+)\frac{(+)}{(+)} = (+)

(−)(+)=(−)\frac{(-)}{(+)} = (-)

(+)(−)=(−)\frac{(+)}{(-)} = (-)

(−)(−)=(+)\frac{(-)}{(-)} = (+) 

title: Proprietà delle potenze  
$$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a^\alpha}{b^\beta} \right)^n = \frac{a^{\alpha n}}{b^{\beta n}} \quad (b \neq 0)$$

Teoremi fondamentali

Esponenti negativi (reciproci)

a−n=1an; a≠0a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{; } a \neq 0

0−n0^{-n} non è definito per n>0n > 0.

Proprietà distributiva rispetto alla divisione

a+bc=ac+bc(c≠0)\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \quad (c \neq 0) 

title: Operazioni con le frazioni  
**Condizione:** $y, z, w, k \neq 0$  
$$\frac{x}{y} = x \left( \frac{1}{y} \right)$$  
$$\left( \frac{x}{y} \right) \left( \frac{w}{k} \right) = \frac{xw}{yk}$$  
$$\frac{xy}{wx} = \frac{y}{w}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{z}{y} = \frac{x + z}{y}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{w}{z} = \frac{xz + yw}{yz}$$  
$$\frac{x}{y} \div \frac{w}{z} = \frac{xz}{yw}$$  
$$x + \frac{y}{w} = \frac{xw + y}{w}$$

Note importanti

title: Restrizione fondamentale  
La divisione per zero **non è definita**. Tutti i denominatori devono essere $\neq 0$.

Equivalenze utili

−ab=−ab=a−b-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

a+bc+xy=a+bcy+xy=a+bycy+x(cy+x≠0)a+\frac{b}{c+\dfrac{x}{y}}=a+\frac{b}{\dfrac{cy+x}{y}}=a+\frac{by}{cy+x} \quad (cy + x \neq 0)

Simboli matematici

Concetto Simbolo Concetto Simbolo Concetto Simbolo
più + maggiore di >> esiste almeno un ∃\exists
meno - minore di << esiste uno solo ∃!\exists!
moltiplicazione ⋅\cdot maggiore o uguale a ≥\geq non esiste ∄\nexists
divisione ÷\div minore o uguale a ≤\leq quindi →\rightarrow
uguale = appartiene a ∈\in se e solo se ↔\leftrightarrow
diverso ≠\neq non appartiene a ∉\notin negazione ∼\sim
identico ≡\equiv sottoinsieme o uguale ⊆\subseteq congiunzione “e” ∧\land
non identico ≢\not\equiv sottoinsieme proprio ⊂\subset disgiunzione “o” ∨\lor
circa / approssimativamente ≈\approx non sottoinsieme ⊄\not\subset insieme dei numeri naturali N\mathbb{N}
infinito ∞\infty insieme vuoto ∅\varnothing insieme dei numeri interi Z\mathbb{Z}
più infinito +∞+\infty intervallo aperto (a,b)(a,b) (a,b)(a,b) insieme dei numeri razionali Q\mathbb{Q}
meno infinito −∞-\infty intervallo chiuso [a,b][a,b] [a,b][a,b] insieme dei numeri irrazionali I\mathbb{I}
unione ∪\cup intervallo semiaperto [a,b)[a,b) [a,b)[a,b) insieme dei numeri reali R\mathbb{R}
intersezione ∩\cap retta reale (−∞,∞)(-\infty, \infty) insieme dei numeri complessi C\mathbb{C}
quindi ∴\therefore sommatoria ∑\sum fattoriale n!n!
perché ∵\because produttoria ∏\prod valore assoluto di xx ∣x∣\lvert x \rvert
parallelo ∥\parallel radice quadrata \sqrt{} parte intera (massimo intero ≤ xx) ⌊x⌋\lfloor x \rfloor
non parallelo ∦\nparallel potenza aba^b percentuale %\%
tale che ∣\mid per ogni ∀\forall multiplo di xx x˙\dot{x}
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