La Retta

Definizione

Una retta è il luogo geometrico di tutti i punti del piano che seguono una direzione costante.

Angolo di inclinazione

L’angolo di inclinazione $\theta$ di una retta è l’angolo misurato in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle $x$ fino alla retta, con $0^\circ \leq \theta < 180^\circ$.

Coefficiente angolare di una retta

Il coefficiente angolare $m$ di una retta è definito come la tangente del suo angolo di inclinazione:

$$\boxed{m = \tan \theta}$$

Osservazioni:
1. Se $\theta < 90^\circ$, allora $m > 0$ → la retta è **crescente**.  
![Coefficiente angolare positivo – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918270/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/79152cb167099c92eaa01cef138017cb.png)
2. Se $\theta > 90^\circ$, allora $m < 0$ → la retta è **decrescente**.  
![Coefficiente angolare negativo – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918322/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/58bbd0a27ccd5d0bd67def627936bfcb.png)
3. Se $\theta = 90^\circ$, allora $m$ **non è definito** → la retta è **verticale**.

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Forme dell’equazione di una retta

Forma punto-coefficiente angolare

Dato un punto $P_1(x_1, y_1)$ e un coefficiente angolare $m$:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

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Forma a due punti (forma cartesiana)

Dati due punti distinti $P_1(x_1, y_1)$ e $P_2(x_2, y_2)$, con $x_1 \ne x_2$:

$$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$

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Forma esplicita (coefficiente angolare e termine noto)

Dato il coefficiente angolare $m$ e l’ordinata all’origine $b$ (punto in cui la retta interseca l’asse $y$):

$$y = mx + b$$

Dove:

• $m$: coefficiente angolare
• $b$: ordinata all’origine (intercetta sull’asse $y$)

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Forma segmentaria (forma simmetrica)

Se la retta interseca l’asse $x$ in $(a, 0)$ e l’asse $y$ in $(0, b)$, con $a \ne 0$ e $b \ne 0$:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

Dove:

• $a$: ascissa all’origine (intercetta sull’asse $x$)
• $b$: ordinata all’origine (intercetta sull’asse $y$)

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Forma generale dell’equazione di una retta

Ogni retta può essere scritta nella forma:

$$\boxed{Ax + By + C = 0}$$

dove $A, B, C \in \mathbb{R}$ e non tutti nulli.

Casi particolari:
1. Se $A = 0$, $B \ne 0$, $C \ne 0$:  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{C}{B}$ → **retta orizzontale** (parallela all’asse $x$).
2. Se $B = 0$, $A \ne 0$, $C \ne 0$:  
   $\Rightarrow x = -\dfrac{C}{A}$ → **retta verticale** (parallela all’asse $y$).
3. Se $A \ne 0$, $B \ne 0$:  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$ → forma esplicita, con coefficiente angolare $m = -\dfrac{A}{B}$.

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Angolo tra due rette

Date due rette con coefficienti angolari $m_1$ e $m_2$, l’angolo acuto $\theta$ tra di esse è:

$$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$$

title: Nota:
Questa formula fornisce sempre l’**angolo acuto** tra le rette. Per l’angolo ottuso, si usa $180^\circ - \theta$.

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Posizioni reciproche di due rette

Consideriamo le rette:

$$\begin{aligned} \mathscr{L}_1 &: A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ \mathscr{L}_2 &: A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{aligned}$$

Rette perpendicolari

Due rette sono perpendicolari se i loro coefficienti angolari soddisfano $m_1 \cdot m_2 = -1$. In termini di coefficienti:

$$\boxed{A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0}$$

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Rette parallele

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare:

$$m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}} \quad \text{(purché } A_2, B_2 \ne 0\text{)}$$

title: Nota:
Se, inoltre, $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{A_1}{A_2}$, allora le rette sono **coincidenti**.

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Rette coincidenti

Due rette sono coincidenti se tutti i loro coefficienti sono proporzionali:

$$\boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}}$$

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Rette incidenti (oblique)

Due rette si intersecano in un unico punto se non sono parallele:

$$\boxed{A_1 B_2 - A_2 B_1 \ne 0}$$

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Forma normale dell’equazione di una retta

La forma normale di una retta è:

$$x \cos \omega + y \sin \omega - p = 0$$

Dove:

• $\omega$: angolo tra il vettore normale e il semiasse positivo delle $x$ ($0^\circ \leq \omega < 360^\circ$)
• $p$: distanza perpendicolare dall’origine alla retta (sempre $p \geq 0$)

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Conversione dalla forma generale alla forma normale

Data l’equazione $Ax + By + C = 0$, si divide per $\sqrt{A^2 + B^2}$, scegliendo il segno opposto a quello di $C$ per garantire $p \geq 0$:

$$\frac{A}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}x + \frac{B}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}y + \frac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} = 0$$

Il segno si sceglie in modo che $\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \leq 0$, così da assicurare che $p = -\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \geq 0$.

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Applicazioni della forma normale

Distanza di un punto da una retta (distanza assoluta)

Dato un punto $P_1(x_1, y_1)$ e una retta $Ax + By + C = 0$, la distanza perpendicolare (sempre non negativa) è:

$$d(P_1, \mathscr{L}) = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

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Distanza con segno (distanza orientata)

La distanza con segno $d$ porta un segno che dipende dall’orientamento del vettore normale $(A, B)$:

$$d = \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

title: Importante  
Il denominatore è sempre positivo. Il segno di $d$ dipende solo dal numeratore e indica da che parte del **vettore normale** $(A, B)$ si trova il punto:
- Se $d > 0$: il punto è nella direzione del vettore normale.
- Se $d < 0$: il punto è nella direzione opposta.

Casi particolari:

1. Retta che non passa per l’origine ($C \ne 0$):

   • $d > 0$ se $P_1$ e l’origine sono da parti opposte rispetto alla retta.
   • $d < 0$ se sono dalla stessa parte.

   

2. Retta passante per l’origine ($C = 0$):

   • $d > 0$ se $P_1$ è “sopra” la retta (nella direzione di $(A, B)$).
   • $d < 0$ se è “sotto”.

   

title: Nota:  
Il segno della distanza orientata è determinato **unicamente dal numeratore**. **Non** si inserisce $\pm$ al denominatore: la convenzione moderna fissa il denominatore sempre **positivo**.

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Bisettrici dell’angolo formato da due rette incidenti

Date due rette $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ e $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$, le bisettrici sono il luogo dei punti equidistanti dalle due rette:

$$\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$$

Rimuovendo i valori assoluti si ottengono le due bisettrici:

$$\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$$

- Usare il segno **+** per la bisettrice dell’angolo che contiene la direzione della somma dei **versori normali** (spesso l’angolo **acuto**).  
- Usare il segno **–** per la bisettrice dell’angolo **ottuso**.

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Distanza tra due rette parallele

Date due rette parallele $\mathscr{L}_1: Ax + By + C_1 = 0$ e $\mathscr{L}_2: Ax + By + C_2 = 0$ (con gli stessi $A$ e $B$), la distanza tra di esse è:

$$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

title: Nota:  
Le formule presuppongono che entrambe le equazioni abbiano **coefficienti identici** $A$ e $B$.

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Area di un triangolo

Dati tre vertici $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$, l’area del triangolo è:

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$

Oppure, usando un determinante:

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|$$

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Forma determinante della retta per due punti

Dati i punti $P_1(x_1, y_1)$ e $P_2(x_2, y_2)$, l’equazione della retta è:

$$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0$$

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Fasci di rette

Fascio di rette parallele a una data

Data la retta $Ax + By + C = 0$, il fascio di tutte le rette ad essa parallele è:

$$Ax + By + k = 0 \quad \text{per } k \in \mathbb{R}$$

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Fascio di rette perpendicolari a una data

Se una retta data ha coefficiente angolare $m$, tutte le rette perpendicolari hanno coefficiente angolare $-\dfrac{1}{m}$. Se passano per un punto fisso $(x_0, y_0)$:

$$y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)$$

In forma generale: se la retta data è $Ax + By + C = 0$, allora tutte le rette perpendicolari hanno la forma $Bx - Ay + k = 0$.

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Fascio di rette concurrenti in un punto

Date due rette incidenti $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ e $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$, il fascio di tutte le rette passanti per il loro punto di intersezione è:

$$A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0 \quad \text{per } \lambda \in \mathbb{R}$$

title: Nota:  
Il valore $\lambda = -1$ può corrispondere a una retta impropria (all’infinito) o a un caso degenere, a seconda del contesto.

Practice Problems

Level I

Level II

Level III