Concetti Fondamentali

Piano Cartesiano

• Sistema di coordinate rettangolari: asse $x$ (ascisse) e asse $y$ (ordinate)
• Origine: punto $(0,0)$

Quadranti

• Quattro quadranti numerati da I a IV in senso antiorario
• Segni:
  • Quadrante I: $(+,+)$
  • Quadrante II: $(-,+)$
  • Quadrante III: $(-,-)$
  • Quadrante IV: $(+,-)$

Punti

• Rappresentazione: $P(x,y)$
  
• Punti particolari:
  • Origine: $O(0,0)$
  • Sull’asse $x$: $(a,0)$
  • Sull’asse $y$: $(0,b)$

Distanza tra due punti

Per $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Distanza tra due punti in coordinate polari

Dati due punti in coordinate polari:

• $P_1(r_1, \theta_1)$
• $P_2(r_2, \theta_2)$
  

La distanza $d$ tra di essi è:

$$d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)}$$

Punto medio

Punto medio $M$ tra $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Divisione di un segmento in un rapporto dato

Punto $P$ che divide il segmento $P_1P_2$ nel rapporto $\dfrac{P_1P}{PP_2} = \dfrac{m}{n} = \lambda$:

$$x = \frac{nx_1 + mx_2}{n + m} = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{ny_1 + my_2}{n + m} = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$$

$$P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)$$

Coordinate del baricentro di un triangolo

$$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$$

$$y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$$

Area di un triangolo

Dati i vertici $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$, l’area è:

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|$$

Il determinante si calcola come:

$$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} = x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + (x_2 y_3 - x_3 y_2)$$

In pratica, si semplifica in:

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \big| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \big|$$

title: Esempio  
Siano i vertici $P_1(2, 4)$, $P_2(5, 6)$ e $P_3(3, 1)$:  
1. **Costruisci la matrice**:  
  $$ \begin{vmatrix}
   2 & 4 & 1 \\
   5 & 6 & 1 \\
   3 & 1 & 1 \\
   \end{vmatrix} $$

2. **Calcola il determinante** (regola di Sarrus):  
$$= 2(6 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 4(5 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + 1(5 \cdot 1 - 3 \cdot 6)$$  
$$= 2(6 - 1) - 4(5 - 3) + 1(5 - 18)$$  
$$= 2(5) - 4(2) + 1(-13) = 10 - 8 - 13 = -11$$  
3. **Prendi il valore assoluto e dividi per 2**:  
$$\text{Area} = \frac{1}{2} |-11| = 5{,}5 \ \text{unità}^2$$  

Area di un poligono

Formula generale (Formula del laccio – Shoelace Formula)

Per i vertici $(x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)$:  
$$
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i y_{i+1} \right) - \sum_{i=1}^{n} \left( y_i x_{i+1} \right) \right|
$$  
dove:  
- $x_{n+1} = x_1$ e $y_{n+1} = y_1$ (chiude il poligono).  
- I vertici devono essere ordinati **in senso orario o antiorario** (senza intersezioni).  

Passaggi per applicare la formula:

1. Elenco ordinato dei vertici: scrivi le coordinate in sequenza (es. $P_1 \to P_2 \to P_3 \to \dots \to P_1$).
2. Somma 1 ($\Sigma_1$): moltiplica ogni $x_i$ per la $y$ del vertice successivo ($y_{i+1}$) e somma i prodotti.
3. Somma 2 ($\Sigma_2$): moltiplica ogni $y_i$ per la $x$ del vertice successivo ($x_{i+1}$) e somma i prodotti.
4. Sottrai e prendi il valore assoluto: calcola $|\Sigma_1 - \Sigma_2|$ e dividi per 2.

title: Esempio  
Vertici in ordine: $P_{1}(2, 4)$, $P_{2}(5, 6)$, $P_{3}(3, 1)$, $P_{4}(1, 2)$.  
1. **Chiudi il poligono ripetendo $P_1$ alla fine**:  
$$(2,4), (5,6), (3,1), (1,2), (2,4)$$  
2. **Calcola $\Sigma_1$ (diagonali verso il basso ➘)**:  
$(2 \times 6) + (5 \times 1) + (3 \times 2) + (1 \times 4) = 12 + 5 + 6 + 4 = 27$  
3. **Calcola $\Sigma_2$ (diagonali verso l’alto ➚)**:  
$(4 \times 5) + (6 \times 3) + (1 \times 1) + (2 \times 2) = 20 + 18 + 1 + 4 = 43$  
4. **Area**:  
$$\text{Area} = \frac{1}{2} |27 - 43| = \frac{16}{2} = 8 \ \text{unità}^2$$  

Practice Problems

Level I

Level II

Level III