La Circonferenza

Definizione

Una circonferenza è il luogo geometrico di tutti i punti del piano che sono equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza costante dal centro a un qualsiasi punto della circonferenza si chiama raggio.

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Elementi della circonferenza

![Elementi della circonferenza](https://res.cloudinary.com/dze1acg2c/image/upload/v1766501620/equationzone/sa9eg8jjqzul5sszd3co.png)
- **Centro** ($C$): il punto fisso interno da cui tutti i punti della circonferenza sono equidistanti.
- **Raggio** ($r = CU$): la distanza dal centro a un qualsiasi punto della circonferenza.
- **Diametro** ($d$): una corda che passa per il centro. Soddisfa la relazione $d = 2r$.
- **Corda** ($\overline{MN}$): un segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza.
- **Arco**: una porzione di circonferenza compresa tra due punti.
- **Tangente**: una retta che interseca la circonferenza in **esattamente un punto**.
- **Secante**: una retta che interseca la circonferenza in **due punti distinti**.

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Equazioni della circonferenza

1. Forma standard (centro in $(h, k)$)

$$\boxed{\mathscr{C}:(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2}$$

Questa è l’equazione di una circonferenza con centro $(h, k)$ e raggio $r > 0$.

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2. Forma canonica (centro nell’origine)

$$\boxed{\mathscr{C}: x^2 + y^2 = r^2}$$

Casi particolari:

• Se $r = 1$: $x^2 + y^2 = 1$ → la circonferenza goniometrica (o unitaria).
• Se $r = 0$: $x^2 + y^2 = 0$ → rappresenta solo il punto $(0, 0)$.

Circonferenza tangente agli assi coordinati

• Tangente all’asse $x$:
  Centro in $(h, k)$, raggio $r = |k|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$$

  

• Tangente all’asse $y$:
  Centro in $(h, k)$, raggio $r = |h|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = h^2$$

  

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3. Equazioni parametriche

Dato il centro $C = (x_0, y_0)$ e il raggio $r$, un qualsiasi punto $M$ della circonferenza può essere espresso come:

$$\begin{cases} x = x_0 + r \cos \theta \\ y = y_0 + r \sin \theta \end{cases} \quad \text{con } \theta \in [0, 2\pi)$$

dove $\theta$ è l’angolo misurato a partire dal semiasse positivo delle $x$.

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4. Equazione in coordinate polari

• Circonferenza generale (centro in $(\rho_0, \varphi_0)$, raggio $r$):

$$\rho^2 - 2\rho\rho_0\cos(\varphi - \varphi_0) + \rho_0^2 = r^2$$

title: Nota:
Alcuni testi usano un segno più, ma la forma qui riportata è coerente con il teorema del coseno ed è preferibile per coerenza.

• Caso particolare: circonferenza passante per il polo con centro sull’asse polare ($\varphi = 0$):

$$\boxed{\rho = 2r \cos \varphi}$$

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5. Forma generale dell’equazione

$$\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0}$$

• Centro: $\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)$
• Raggio: $r = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F}$

title: Condizione per una circonferenza reale
$$\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F > 0$$
- Se l’espressione è uguale a zero, l’equazione rappresenta una **circonferenza puntiforme**.
- Se è negativa, rappresenta una **circonferenza immaginaria** (nessun punto reale).

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Determinazione di una circonferenza

Per determinare univocamente una circonferenza sono necessarie tre condizioni indipendenti. Casi comuni includono:

• Tre punti non allineati.
• Centro e raggio.
• Centro e un punto della circonferenza.
• Due punti e la tangente in uno di essi.
• Un punto e due tangenti.

Si sostituiscono le condizioni assegnate nella forma standard o generale e si risolve il sistema di equazioni risultante.

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Fasci di circonferenze

Date due circonferenze:

$$\begin{aligned} \mathscr{C}_1 &: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 \\ \mathscr{C}_2 &: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 \end{aligned}$$

Il fascio di tutte le circonferenze passanti per i loro punti di intersezione è:

$$\mathscr{C}_1 + \lambda \mathscr{C}_2 = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R},\ \lambda \ne -1)$$

Equivalentemente:

$$x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0$$

title: Nota:
L’equazione $\mathscr{C}_1 - \mathscr{C}_2 = 0$ fornisce l’**asse radicale** – la retta costituita da tutti i punti aventi uguale potenza rispetto alle due circonferenze.

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Rette tangenti a una circonferenza

1. Tangente nel punto $P(x_1, y_1)$ sulla circonferenza

• Circonferenza centrata nell’origine ($x^2 + y^2 = r^2$):

$$x x_1 + y y_1 = r^2$$

• Circonferenza con centro $(h, k)$:

$$(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2$$

2. Condizione di tangenza per una retta

Data una retta $Ax + By + C = 0$ e una circonferenza con centro $(h, k)$ e raggio $r$, la retta è tangente se e solo se la distanza perpendicolare dal centro alla retta è uguale al raggio:

$$\frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r$$

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Trasformazioni di coordinate

1. Traslazione degli assi

Se gli assi coordinati vengono traslati in modo che la nuova origine sia in $(h, k)$, le coordinate sono legate da:

$$\begin{cases} x = x' + h \\ y = y' + k \end{cases} \quad \text{o inversamente} \quad \begin{cases} x' = x - h \\ y' = y - k \end{cases}$$

Questa trasformazione elimina i termini lineari nell’equazione generale, riducendola alla forma canonica.

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2. Rotazione degli assi

Ruotando gli assi di un angolo $\theta$, le coordinate originali $(x, y)$ e le nuove $(x', y')$ sono legate da:

$$\begin{cases} x = x' \cos\theta - y' \sin\theta \\ y = x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{cases}$$

3. Eliminazione del termine $xy$ nelle coniche

Per un’equazione quadratica generale

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$$

il termine misto $xy$ si elimina ruotando gli assi di un angolo $\theta$ che soddisfa:

$$\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} \quad \text{(se } A \ne C\text{)}$$

Se $A = C$, allora $\theta = 45^\circ$.

title: Nota:
Sebbene la **circonferenza non contenga mai un termine $xy$** (a causa della sua simmetria rotazionale), questa tecnica è essenziale per analizzare altre coniche ed è inclusa qui per completezza nel contesto delle trasformazioni di coordinate.

Practice Problems

Level I

Level II

Level III