Áreas de Figuras Planas

Área de Figuras Planas

Triângulo

• Fórmula geral (base e altura):

  $$A = \frac{b \cdot h}{2}$$

• Fórmula de Herão (lados):

  $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

  onde $s = \frac{a + b + c}{2}$ é o semiperímetro.

Triângulo Acutângulo

Conhecidos dois lados ($a$, $b$) e a base $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{a^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c} \right)^2}$$

Triângulo Obtusângulo

Conhecidos dois lados ($a$, $b$) e a base $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{b^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{2c} \right)^2}$$

Triângulo Equilátero

• Com lado $a$ e altura $h$:

  $$A = \frac{a \cdot h}{2}$$

  $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

• Em função do lado $a$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• Em função da altura $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$

• Em função do diâmetro $d$ da circunferência circunscrita:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{16} d^2$$

• Em função do raio $r$ da circunferência inscrita:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2$$

Quadrado

• Em função do lado $l$:

  $$A = l^2$$

  $$l = \sqrt{A}$$

• Em função da diagonal $d$:

  $$d = l \cdot \sqrt{2}$$

  $$A = \frac{d^2}{2}$$

• Em função do raio $r$ da circunferência inscrita:

  $$A = (2r)^2 = 4r^2$$

Retângulo

$$A = b \cdot h$$

$$d = \sqrt{b^2 + h^2}$$

(onde $d$ é a diagonal, $b$ a base e $h$ a altura)

Paralelogramo

• Área:

  $$A = b \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

• Diagonais:

  $$d_1 = \sqrt{(a + h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

  $$d_2 = \sqrt{(a - h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

Trapézio

• Área:

  $$A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h = m \cdot h$$

  (onde $B$ e $b$ são as bases, $h$ a altura e $m$ a base média)

• Base média:

  $$m = \frac{B + b}{2}$$

Trapézio Irregular

Pode ser calculado dividindo-o em triângulos:

$$A = \frac{a(H+h)+d \cdot h + e \cdot H}{2}$$

Pentágono Regular

• Em função do raio $R$ da circunferência circunscrita:

  $$A = \frac{5}{8} R^2 \cdot \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$$

  $$A = \frac{5}{2}R^2 \cdot \sin 72^\circ$$

• Em função do lado $a$:

  $$A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} \cdot a^2$$

• Em função do apótema $a_{p}$:

  $$A = 5a_{p}^2 \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$$

  onde o apótema é:

  $$a_{p}= \frac{a}{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

Hexágono Regular

• Em função do lado $a$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

• Em função da altura entre lados paralelos $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{2} h^2$$

• Em função da diagonal maior $d$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} d^2$$

• Relações importantes:
  O lado $a$ é igual ao raio $R$ da circunferência circunscrita: $a = R$.
  A altura entre lados paralelos é: $h = \sqrt{3} \cdot a$.
  A diagonal maior é: $d = 2a$.

Octógono Regular

• Área em função do lado $a$ e do apótema $a_{p}$:

  $$A = \frac{P \cdot a_{p}}{2} = 4 \cdot a \cdot a_{p}$$

• Perímetro:

  $$P = 8a$$

• Apótema:

  $$a_{p} = \frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\pi}{8}$$

• Fórmulas aproximadas comuns:

  $$A = \frac{8a^2}{4\tan \frac{\pi}{8}} \approx 4.828 \cdot a^2$$

  $$A \approx 0.828 \cdot s^2$$

  (onde $s$ é a largura entre lados paralelos)

Polígono Irregular

Decompõe-se em triângulos e somam-se suas áreas:

$$A_{\text{total}} = A_1 + A_2 + A_3 + \dots$$

$$A_{\text{total}} = \frac{a h_1 + b h_2 + b h_3 \dots}{2}$$

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Área do Círculo e Seções do Círculo

Círculo

• Área em função do diâmetro $d$:

  $$A = \frac{\pi}{4} d^2$$

• Área em função do raio $r$:

  $$A = \pi r^2$$

Quadrante e Triângulo Côncavo

• Área do quadrante:

  $$A = \frac{\pi}{16} d^2$$

  $$A = \frac{\pi}{4} r^2$$

• Área do triângulo côncavo:

  $$A' = \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) r^2$$

(onde $r$ é o raio e $d$ o diâmetro)

Setor Circular

• Área (ângulo em graus $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ}$$

• Área (ângulo em radianos $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{2} r^2$$

• Comprimento do arco $L$:

  $$L = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} = \theta \cdot r$$

Segmento Circular

É a área entre uma corda e seu arco. Calcula-se subtraindo da área do setor a área do triângulo isósceles formado pelos raios e pela corda.

$$A = \frac{r^2}{2} (\theta - \sin \theta)$$

(onde $\theta$ está em radianos)

Coroa Circular

• Área em função do diâmetro:

  $$A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)$$

• Área em função do raio:

  $$A = \pi (R^2 - r^2)$$

(onde $R$ e $r$ são os raios, $D$ e $d$ os diâmetros)

Setor de Coroa Circular

• Área (ângulo em graus $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi \cdot \alpha^\circ}{4 \cdot 360^\circ} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\pi \alpha^\circ}{360^\circ} (R^2 - r^2)$$

• Área (ângulo em radianos $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{8} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\theta}{2} (R^2 - r^2)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III