Noções Preliminares

Adição e Subtração

Propriedade Distributiva

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Multiplicação

Regra dos Sinais

(+)⋅(+)=(+)(+)\cdot(+) = (+)

(−)⋅(+)=(−)(-)\cdot(+) = (-)

(+)⋅(−)=(−)(+)\cdot(-) = (-)

(−)⋅(−)=(+)(-)\cdot(-) = (+)

Propriedade Associativa

a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c 

title: Propriedades de Potências  
$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$  
$$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$$  
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$  
$$(a^{\alpha} \cdot b^{\beta})^n = a^{\alpha n} \cdot b^{\beta n}$$

Identidades Notáveis

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

Divisão

Regra dos Sinais

(+)(+)=(+)\frac{(+)}{(+)} = (+)

(−)(+)=(−)\frac{(-)}{(+)} = (-)

(+)(−)=(−)\frac{(+)}{(-)} = (-)

(−)(−)=(+)\frac{(-)}{(-)} = (+) 

title: Propriedades de Potências  
$$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a^\alpha}{b^\beta} \right)^n = \frac{a^{\alpha n}}{b^{\beta n}} \quad (b \neq 0)$$

Teoremas Fundamentais

Inversos (expoentes negativos)

a−n=1an; a≠0a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{; } a \neq 0

0−n0^{-n} não está definido para n>0n > 0.

Propriedade Distributiva sobre a Divisão

a+bc=ac+bc(c≠0)\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \quad (c \neq 0) 

title: Operações com Frações  
**Condição:** $y, z, w, k \neq 0$  
$$\frac{x}{y} = x \left( \frac{1}{y} \right)$$  
$$\left( \frac{x}{y} \right) \left( \frac{w}{k} \right) = \frac{xw}{yk}$$  
$$\frac{xy}{wx} = \frac{y}{w}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{z}{y} = \frac{x + z}{y}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{w}{z} = \frac{xz + yw}{yz}$$  
$$\frac{x}{y} \div \frac{w}{z} = \frac{xz}{yw}$$  
$$x + \frac{y}{w} = \frac{xw + y}{w}$$

Observações Importantes

title: Restrição Fundamental  
A divisão por zero **não é definida**. Todos os denominadores devem ser $\neq 0$.

Equivalências Úteis

−ab=−ab=a−b-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

a+bc+xy=a+bcy+xy=a+bycy+x(cy+x≠0)a+\frac{b}{c+\dfrac{x}{y}}=a+\frac{b}{\dfrac{cy+x}{y}}=a+\frac{by}{cy+x} \quad (cy + x \neq 0)

Símbolos Matemáticos

Conceito Símbolo Conceito Símbolo Conceito Símbolo
mais + maior que >> existe pelo menos um ∃\exists
menos - menor que << existe exatamente um ∃!\exists!
multiplicação ⋅\cdot maior ou igual a ≥\geq não existe ∄\nexists
divisão ÷\div menor ou igual a ≤\leq portanto →\rightarrow
igual = pertence a ∈\in se e somente se ↔\leftrightarrow
diferente ≠\neq não pertence a ∉\notin negação ∼\sim
idêntico ≡\equiv contido ou igual ⊆\subseteq conjunção “e” ∧\land
não idêntico ≢\not\equiv contido (próprio) ⊂\subset disjunção “ou” ∨\lor
aproximadamente ≈\approx não contido ⊄\not\subset conjunto dos naturais N\mathbb{N}
infinito ∞\infty conjunto vazio ∅\varnothing conjunto dos inteiros Z\mathbb{Z}
mais infinito +∞+\infty intervalo aberto (a,b)(a,b) (a,b)(a,b) conjunto dos racionais Q\mathbb{Q}
menos infinito −∞-\infty intervalo fechado [a,b][a,b] [a,b][a,b] conjunto dos irracionais I\mathbb{I}
união ∪\cup intervalo semiaberto [a,b)[a,b) [a,b)[a,b) conjunto dos reais R\mathbb{R}
interseção ∩\cap reta real (−∞,∞)(-\infty, \infty) conjunto dos complexos C\mathbb{C}
portanto ∴\therefore somatório ∑\sum fatorial n!n!
pois / porque ∵\because produtório ∏\prod módulo de xx ∣x∣\lvert x \rvert
paralelo ∥\parallel raiz quadrada \sqrt{} função piso (maior inteiro ≤ xx) ⌊x⌋\lfloor x \rfloor
não paralelo ∦\nparallel potência aba^b porcentagem %\%
tal que ∣\mid para todo ∀\forall múltiplo de xx x˙\dot{x}
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