A Reta

Definição

Uma reta é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que seguem uma direção constante.

Ângulo de inclinação

O ângulo de inclinação $\theta$ de uma reta é o ângulo medido no sentido anti-horário, a partir do semieixo positivo dos $x$ até a reta, tal que $0^\circ \leq \theta < 180^\circ$.

Inclinação (coeficiente angular) de uma reta

A inclinação $m$ de uma reta é definida como a tangente do seu ângulo de inclinação:

$$\boxed{m = \tan \theta}$$

Observações:
1. Se $\theta < 90^\circ$, então $m > 0$ → a reta é **crescente**.  
![Inclinação positiva – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918270/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/79152cb167099c92eaa01cef138017cb.png)
2. Se $\theta > 90^\circ$, então $m < 0$ → a reta é **decrescente**.  
![Inclinação negativa – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918322/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/58bbd0a27ccd5d0bd67def627936bfcb.png)
3. Se $\theta = 90^\circ$, então $m$ **não está definido** → a reta é **vertical**.

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Formas da equação de uma reta

Forma ponto-inclinação

Dado um ponto $P_1(x_1, y_1)$ e uma inclinação $m$:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

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Forma de dois pontos (forma cartesiana)

Dados dois pontos distintos $P_1(x_1, y_1)$ e $P_2(x_2, y_2)$, com $x_1 \ne x_2$:

$$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$

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Forma reduzida (coeficiente angular e linear)

Dada a inclinação $m$ e o coeficiente linear $b$ (ponto onde a reta corta o eixo $y$):

$$y = mx + b$$

Onde:

• $m$: inclinação (coeficiente angular)
• $b$: coeficiente linear (ordenada na origem)

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Forma segmentária (forma simétrica)

Se a reta intersecta o eixo $x$ em $(a, 0)$ e o eixo $y$ em $(0, b)$, com $a \ne 0$ e $b \ne 0$:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

Onde:

• $a$: abscissa na origem
• $b$: ordenada na origem

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Forma geral da equação de uma reta

Qualquer reta pode ser escrita na forma:

$$\boxed{Ax + By + C = 0}$$

onde $A, B, C \in \mathbb{R}$, e nem todos são nulos.

Casos especiais:
1. Se $A = 0$, $B \ne 0$, $C \ne 0$:  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{C}{B}$ → **reta horizontal** (paralela ao eixo $x$).
2. Se $B = 0$, $A \ne 0$, $C \ne 0$:  
   $\Rightarrow x = -\dfrac{C}{A}$ → **reta vertical** (paralela ao eixo $y$).
3. Se $A \ne 0$, $B \ne 0$:  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$ → forma reduzida, com inclinação $m = -\dfrac{A}{B}$.

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Ângulo entre duas retas

Dadas duas retas com inclinações $m_1$ e $m_2$, o ângulo agudo $\theta$ entre elas é:

$$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$$

title: Observação:
Esta fórmula fornece o **ângulo agudo** entre as retas. Para o ângulo obtuso, use $180^\circ - \theta$.

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Posições relativas de duas retas

Considere as retas:

$$\begin{aligned} \mathscr{L}_1 &: A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ \mathscr{L}_2 &: A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{aligned}$$

Retas perpendiculares

Duas retas são perpendiculares se suas inclinações satisfazem $m_1 \cdot m_2 = -1$. Em termos dos coeficientes:

$$\boxed{A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0}$$

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Retas paralelas

Duas retas são paralelas se têm inclinações iguais:

$$m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}} \quad \text{(desde que } A_2, B_2 \ne 0\text{)}$$

title: Observação:
Se, além disso, $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{A_1}{A_2}$, então as retas são **coincidentes**.

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Retas coincidentes

Duas retas são coincidentes se todos os seus coeficientes forem proporcionais:

$$\boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}}$$

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Retas oblíquas (concorrentes)

Duas retas se intersectam em exatamente um ponto se não forem paralelas:

$$\boxed{A_1 B_2 - A_2 B_1 \ne 0}$$

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Forma normal da equação de uma reta

A forma normal de uma reta é:

$$x \cos \omega + y \sin \omega - p = 0$$

Onde:

• $\omega$: ângulo entre o vetor normal e o semieixo positivo dos $x$ ($0^\circ \leq \omega < 360^\circ$)
• $p$: distância perpendicular da origem à reta (sempre $p \geq 0$)

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Conversão da forma geral para a forma normal

Dada a equação $Ax + By + C = 0$, divide-se por $\sqrt{A^2 + B^2}$, escolhendo o sinal oposto ao de $C$ para garantir $p \geq 0$:

$$\frac{A}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}x + \frac{B}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}y + \frac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} = 0$$

O sinal é escolhido de modo que $\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \leq 0$, o que assegura que $p = -\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \geq 0$.

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Aplicações da forma normal

Distância de um ponto a uma reta (distância absoluta)

Dado um ponto $P_1(x_1, y_1)$ e uma reta $Ax + By + C = 0$, a distância perpendicular (sempre não negativa) é:

$$d(P_1, \mathscr{L}) = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

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Distância orientada de um ponto a uma reta

A distância orientada $d$ possui um sinal que depende da orientação do vetor normal $(A, B)$:

$$d = \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

title: Importante  
O denominador é sempre positivo. O sinal de $d$ depende do numerador e reflete a posição do ponto em relação ao **vetor normal** $(A, B)$:
- Se $d > 0$: o ponto está na direção do vetor normal.
- Se $d < 0$: o ponto está na direção oposta.

Casos especiais:

1. Reta que não passa pela origem ($C \ne 0$):

   • $d > 0$ se $P_1$ e a origem estiverem em lados opostos da reta.
   • $d < 0$ se estiverem do mesmo lado.

   

2. Reta que passa pela origem ($C = 0$):

   • $d > 0$ se $P_1$ estiver "acima" da reta (na direção de $(A, B)$).
   • $d < 0$ se estiver "abaixo".

   

title: Observação:  
O sinal da distância orientada é determinado **apenas pelo numerador**. **Não** inclua $\pm$ no denominador — a convenção moderna fixa o denominador como **positivo**.

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Bissetrizes do ângulo formado por duas retas concorrentes

Dadas duas retas $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ e $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$, as bissetrizes são o lugar geométrico dos pontos equidistantes às duas retas:

$$\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$$

Removendo os valores absolutos, obtêm-se as duas bissetrizes:

$$\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$$

- Use o sinal **+** para a bissetriz do ângulo que contém a direção da soma dos vetores normais unitários (geralmente o ângulo **agudo**).  
- Use o sinal **–** para a bissetriz do ângulo **obtuso**.

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Distância entre duas retas paralelas

Dadas duas retas paralelas $\mathscr{L}_1: Ax + By + C_1 = 0$ e $\mathscr{L}_2: Ax + By + C_2 = 0$ (mesmos $A$ e $B$), a distância entre elas é:

$$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

title: Observação:  
As fórmulas supõem que ambas as equações utilizam **coeficientes idênticos** $A$ e $B$.

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Área de um triângulo

Dados três vértices $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$, a área do triângulo é:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$

Ou usando um determinante:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|$$

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Forma determinantal da reta que passa por dois pontos

Dados $P_1(x_1, y_1)$ e $P_2(x_2, y_2)$, a equação da reta é:

$$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0$$

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Famílias de retas

Família de retas paralelas a uma dada

Dada a reta $Ax + By + C = 0$, a família de retas paralelas é:

$$Ax + By + k = 0 \quad \text{para } k \in \mathbb{R}$$

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Família de retas perpendiculares a uma dada

Se uma reta dada tem inclinação $m$, todas as retas perpendiculares têm inclinação $-\dfrac{1}{m}$. Se passarem por um ponto fixo $(x_0, y_0)$:

$$y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)$$

Em forma geral: se a reta original é $Ax + By + C = 0$, então todas as retas perpendiculares têm a forma $Bx - Ay + k = 0$.

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Família de retas concorrentes em um ponto

Dadas duas retas concorrentes $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ e $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$, a família de todas as retas que passam pelo seu ponto de interseção é:

$$A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0 \quad \text{para } \lambda \in \mathbb{R}$$

title: Observação:  
O valor $\lambda = -1$ pode corresponder a uma reta no infinito ou a um caso degenerado, dependendo do contexto.

Practice Problems

Level I

Level II

Level III