Conceitos Fundamentais

Plano Cartesiano

• Sistema de coordenadas retangulares: eixo $x$ (abscissas) e eixo $y$ (ordenadas)
• Origem: ponto $(0,0)$

Quadrantes

• Quatro quadrantes numerados de I a IV no sentido anti-horário
• Sinais:
  • Quadrante I: $(+,+)$
  • Quadrante II: $(-,+)$
  • Quadrante III: $(-,-)$
  • Quadrante IV: $(+,-)$

Pontos

• Representação: $P(x,y)$
  
• Pontos especiais:
  • Origem: $O(0,0)$
  • Sobre o eixo $x$: $(a,0)$
  • Sobre o eixo $y$: $(0,b)$

Distância entre dois pontos

Para $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Distância entre dois pontos em coordenadas polares

Dados dois pontos em coordenadas polares:

• $P_1(r_1, \theta_1)$
• $P_2(r_2, \theta_2)$
  

A distância $d$ entre eles é:

$$d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)}$$

Ponto médio

Ponto médio $M$ entre $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Divisão de um segmento em uma razão dada

Ponto $P$ que divide o segmento $P_1P_2$ na razão $\dfrac{P_1P}{PP_2} = \dfrac{m}{n} = \lambda$:

$$x = \frac{nx_1 + mx_2}{n + m} = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{ny_1 + my_2}{n + m} = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$$

$$P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)$$

Coordenadas do centróide de um triângulo

$$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$$

$$y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$$

Área de um triângulo

Dados os vértices $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$, a área é:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|$$

Onde o determinante é calculado como:

$$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} = x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + (x_2 y_3 - x_3 y_2)$$

Na prática, simplifica-se para:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \big| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \big|$$

title: Exemplo  
Sejam os vértices $P_1(2, 4)$, $P_2(5, 6)$ e $P_3(3, 1)$:  
1. **Monte a matriz**:  
  $$ \begin{vmatrix}
   2 & 4 & 1 \\
   5 & 6 & 1 \\
   3 & 1 & 1 \\
   \end{vmatrix} $$

2. **Calcule o determinante** (regra de Sarrus):  
$$= 2(6 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 4(5 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + 1(5 \cdot 1 - 3 \cdot 6)$$  
$$= 2(6 - 1) - 4(5 - 3) + 1(5 - 18)$$  
$$= 2(5) - 4(2) + 1(-13) = 10 - 8 - 13 = -11$$  
3. **Tome o valor absoluto e divida por 2**:  
$$\text{Área} = \frac{1}{2} |-11| = 5{,}5 \text{ u}^2$$  

Área de um polígono

Fórmula Geral (Fórmula do Cadarço – Shoelace)

Para vértices $(x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)$:  
$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i y_{i+1} \right) - \sum_{i=1}^{n} \left( y_i x_{i+1} \right) \right|
$$  
onde:  
- $x_{n+1} = x_1$ e $y_{n+1} = y_1$ (fecha o polígono).  
- Os vértices devem estar ordenados **no sentido horário ou anti-horário** (sem cruzamentos).  

Passos para aplicar a fórmula:

1. Lista ordenada de vértices: escreva as coordenadas em ordem (ex: $P_1 \to P_2 \to P_3 \to \dots \to P_1$).
2. Soma 1 ($\Sigma_1$): multiplique cada $x_i$ pela $y$ do vértice seguinte ($y_{i+1}$) e some os resultados.
3. Soma 2 ($\Sigma_2$): multiplique cada $y_i$ pela $x$ do vértice seguinte ($x_{i+1}$) e some os resultados.
4. Subtraia e tome o valor absoluto: calcule $|\Sigma_1 - \Sigma_2|$ e divida por 2.

title: Exemplo  
Vértices em ordem: $P_{1}(2, 4)$, $P_{2}(5, 6)$, $P_{3}(3, 1)$, $P_{4}(1, 2)$.  
1. **Feche o polígono repetindo $P_{1}$ no final**:  
$$(2,4), (5,6), (3,1), (1,2), (2,4)$$  
2. **Calcule $\Sigma_1$ (diagonais descendentes ➘)**:  
$(2 \times 6) + (5 \times 1) + (3 \times 2) + (1 \times 4) = 12 + 5 + 6 + 4 = 27$  
3. **Calcule $\Sigma_2$ (diagonais ascendentes ➚)**:  
$(4 \times 5) + (6 \times 3) + (1 \times 1) + (2 \times 2) = 20 + 18 + 1 + 4 = 43$  
4. **Área**:  
$$\text{Área} = \frac{1}{2} |27 - 43| = \frac{16}{2} = 8 \text{ u}^2$$  

Practice Problems

Level I

Level II

Level III