A Circunferência

Definição

Uma circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado centro. Essa distância constante do centro a qualquer ponto da circunferência é chamada de raio.

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Elementos da Circunferência

![Elementos da Circunferência](https://res.cloudinary.com/dze1acg2c/image/upload/v1766501620/equationzone/sa9eg8jjqzul5sszd3co.png)
- **Centro** ($C$): Ponto interno fixo do qual todos os pontos da circunferência equidistam.
- **Raio** ($r = CU$): Distância do centro a qualquer ponto da circunferência.
- **Diâmetro** ($d$): Corda que passa pelo centro. Satisfaz $d = 2r$.
- **Corda** ($\overline{MN}$): Segmento que une quaisquer dois pontos da circunferência.
- **Arco**: Parte da circunferência compreendida entre dois pontos.
- **Tangente**: Reta que intersecta a circunferência em **exatamente um ponto**.
- **Secante**: Reta que intersecta a circunferência em **dois pontos distintos**.

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Equações da Circunferência

1. Forma Padrão (Centro em $(h, k)$)

$$\boxed{\mathscr{C}:(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2}$$

Essa é a equação de uma circunferência com centro em $(h, k)$ e raio $r > 0$.

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2. Forma Canônica (Centro na Origem)

$$\boxed{\mathscr{C}: x^2 + y^2 = r^2}$$

Casos especiais:

• Se $r = 1$: $x^2 + y^2 = 1$ → a circunferência unitária.
• Se $r = 0$: $x^2 + y^2 = 0$ → representa apenas o ponto $(0, 0)$.

Circunferência Tangente aos Eixos Coordenados

• Tangente ao eixo $x$:
  Centro em $(h, k)$, raio $r = |k|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$$

  

• Tangente ao eixo $y$:
  Centro em $(h, k)$, raio $r = |h|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = h^2$$

  

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3. Equações Paramétricas

Dado o centro $C = (x_0, y_0)$ e o raio $r$, qualquer ponto $M$ da circunferência pode ser expresso como:

$$\begin{cases} x = x_0 + r \cos \theta \\ y = y_0 + r \sin \theta \end{cases} \quad \text{com } \theta \in [0, 2\pi)$$

onde $\theta$ é o ângulo medido a partir do eixo $x$ positivo.

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4. Equação Polar

• Circunferência geral (centro em $(\rho_0, \varphi_0)$, raio $r$):

$$\rho^2 - 2\rho\rho_0\cos(\varphi - \varphi_0) + \rho_0^2 = r^2$$

title: Observação:
Alguns livros usam um sinal de mais, mas a forma acima está alinhada com a Lei dos Cossenos e é preferida por consistência.

• Caso especial: Circunferência que passa pelo polo com centro no eixo polar ($\varphi = 0$):

$$\boxed{\rho = 2r \cos \varphi}$$

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5. Forma Geral da Equação

$$\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0}$$

• Centro: $\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)$
• Raio: $r = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F}$

title: Condição para uma circunferência real
$$\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F > 0$$
- Se a expressão for igual a zero, a equação representa uma **circunferência puntual**.
- Se for negativa, representa uma **circunferência imaginária** (sem pontos reais).

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Determinação de uma Circunferência

São necessárias três condições independentes para determinar uma circunferência de forma única. Casos comuns incluem:

• Três pontos não colineares.
• Centro e raio.
• Centro e um ponto da circunferência.
• Dois pontos e a reta tangente em um deles.
• Um ponto e duas retas tangentes.

Substituem-se as condições dadas na forma padrão ou geral e resolve-se o sistema de equações resultante.

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Famílias de Circunferências

Dadas duas circunferências:

$$\begin{aligned} \mathscr{C}_1 &: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 \\ \mathscr{C}_2 &: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 \end{aligned}$$

A família de todas as circunferências que passam pelos seus pontos de interseção é:

$$\mathscr{C}_1 + \lambda \mathscr{C}_2 = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R},\ \lambda \ne -1)$$

Equivalentemente:

$$x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0$$

title: Observação:
A equação $\mathscr{C}_1 - \mathscr{C}_2 = 0$ fornece o **eixo radical** — a reta que contém todos os pontos com potência igual em relação às duas circunferências.

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Retas Tangentes a uma Circunferência

1. Tangente em um Ponto $P(x_1, y_1)$ da Circunferência

• Circunferência centrada na origem ($x^2 + y^2 = r^2$):

$$x x_1 + y y_1 = r^2$$

• Circunferência com centro em $(h, k)$:

$$(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2$$

2. Condição de Tangência para uma Reta

Dada uma reta $Ax + By + C = 0$ e uma circunferência com centro $(h, k)$ e raio $r$, a reta é tangente se e somente se a distância perpendicular do centro à reta for igual ao raio:

$$\frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r$$

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Transformações de Coordenadas

1. Translação de Eixos

Se os eixos coordenados forem transladados de modo que a nova origem fique em $(h, k)$, as coordenadas se relacionam por:

$$\begin{cases} x = x' + h \\ y = y' + k \end{cases} \quad \text{ou inversamente} \quad \begin{cases} x' = x - h \\ y' = y - k \end{cases}$$

Essa transformação elimina os termos lineares na equação geral, simplificando-a para a forma canônica.

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2. Rotação de Eixos

Ao girar os eixos de um ângulo $\theta$, as coordenadas originais $(x, y)$ e as novas $(x', y')$ se relacionam por:

$$\begin{cases} x = x' \cos\theta - y' \sin\theta \\ y = x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{cases}$$

3. Eliminação do Termo $xy$ em Cônicas

Para uma equação quadrática geral

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$$

o termo misto $xy$ é eliminado ao girar os eixos por um ângulo $\theta$ que satisfaz:

$$\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} \quad \text{(se } A \ne C\text{)}$$

Se $A = C$, então $\theta = 45^\circ$.

title: Observação:
Embora a **circunferência jamais contenha um termo $xy$** (devido à sua simetria rotacional), essa técnica é essencial para analisar outras cônicas e está incluída aqui por completude no contexto de transformações de coordenadas.

Practice Problems

Level I

Level II

Level III