Flächeninhalte ebener Figuren

Flächeninhalt ebener Figuren

Dreieck

• Allgemeine Formel (Grundseite und Höhe):

  $$A = \frac{b \cdot h}{2}$$

• Heronsche Formel (Seiten):

  $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

  wobei $s = \frac{a + b + c}{2}$ der Halbsummenumfang ist.

Spitzwinkliges Dreieck

Mit zwei bekannten Seiten ($a$, $b$) und der Grundseite $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{a^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c} \right)^2}$$

Stumpfwinkliges Dreieck

Mit zwei bekannten Seiten ($a$, $b$) und der Grundseite $c$:

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{b^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{2c} \right)^2}$$

Gleichseitiges Dreieck

• Mit Seite $a$ und Höhe $h$:

  $$A = \frac{a \cdot h}{2}$$

  $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

• In Abhängigkeit von der Seite $a$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• In Abhängigkeit von der Höhe $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$

• In Abhängigkeit vom Durchmesser $d$ des Umkreises:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{16} d^2$$

• In Abhängigkeit vom Radius $r$ des Inkreises:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2$$

Quadrat

• In Abhängigkeit von der Seite $l$:

  $$A = l^2$$

  $$l = \sqrt{A}$$

• In Abhängigkeit von der Diagonale $d$:

  $$d = l \cdot \sqrt{2}$$

  $$A = \frac{d^2}{2}$$

• In Abhängigkeit vom Radius $r$ des Inkreises:

  $$A = (2r)^2 = 4r^2$$

Rechteck

$$A = b \cdot h$$

$$d = \sqrt{b^2 + h^2}$$

(wobei $d$ die Diagonale, $b$ die Basis und $h$ die Höhe ist)

Parallelogramm

• Flächeninhalt:

  $$A = b \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

• Diagonalen:

  $$d_1 = \sqrt{(a + h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

  $$d_2 = \sqrt{(a - h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

Trapez

• Flächeninhalt:

  $$A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h = m \cdot h$$

  (wobei $B$ und $b$ die parallelen Seiten (Grundseiten), $h$ die Höhe und $m$ die Mittellinie ist)

• Mittellinie:

  $$m = \frac{B + b}{2}$$

Allgemeines Viereck

Man kann es durch Aufteilung in Dreiecke berechnen:

$$A = \frac{a(H+h)+d \cdot h + e \cdot H}{2}$$

Regelmäßiges Fünfeck

• In Abhängigkeit vom Radius $R$ des Umkreises:

  $$A = \frac{5}{8} R^2 \cdot \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$$

  $$A = \frac{5}{2}R^2 \cdot \sin 72^\circ$$

• In Abhängigkeit von der Seite $a$:

  $$A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} \cdot a^2$$

• In Abhängigkeit vom Apothem $a_{p}$:

  $$A = 5a_{p}^2 \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$$

  wobei das Apothem ist:

  $$a_{p}= \frac{a}{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

Regelmäßiges Sechseck

• In Abhängigkeit von der Seite $a$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

• In Abhängigkeit von der Höhe zwischen parallelen Seiten $h$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{2} h^2$$

• In Abhängigkeit von der großen Diagonale $d$:

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} d^2$$

• Wichtige Beziehungen:
  Die Seite $a$ ist gleich dem Radius $R$ des Umkreises: $a = R$.
  Die Höhe zwischen parallelen Seiten ist: $h = \sqrt{3} \cdot a$.
  Die große Diagonale ist: $d = 2a$.

Regelmäßiges Achteck

• Flächeninhalt in Abhängigkeit von der Seite $a$ und dem Apothem $a_{p}$:

  $$A = \frac{P \cdot a_{p}}{2} = 4 \cdot a \cdot a_{p}$$

• Umfang:

  $$P = 8a$$

• Apothem:

  $$a_{p} = \frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\pi}{8}$$

• Gebräuchliche Näherungsformeln:

  $$A = \frac{8a^2}{4\tan \frac{\pi}{8}} \approx 4.828 \cdot a^2$$

  $$A \approx 0.828 \cdot s^2$$

  (wobei $s$ der Abstand zwischen parallelen Seiten ist)

Unregelmäßiges Vieleck

Man zerlegt es in Dreiecke und summiert deren Flächeninhalte:

$$A_{\text{gesamt}} = A_1 + A_2 + A_3 + \dots$$

$$A_{\text{gesamt}} = \frac{a h_1 + b h_2 + b h_3 \dots}{2}$$

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Flächeninhalt des Kreises und Kreisteile

Kreis

• Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Durchmesser $d$:

  $$A = \frac{\pi}{4} d^2$$

• Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Radius $r$:

  $$A = \pi r^2$$

Quadrant und konkaves Dreieck

• Flächeninhalt des Quadranten:

  $$A = \frac{\pi}{16} d^2$$

  $$A = \frac{\pi}{4} r^2$$

• Flächeninhalt des konkaven Dreiecks:

  $$A' = \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) r^2$$

(wobei $r$ der Radius und $d$ der Durchmesser ist)

Kreissektor

• Flächeninhalt (Winkel in Grad $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ}$$

• Flächeninhalt (Winkel in Bogenmaß $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{2} r^2$$

• Bogenlänge $L$:

  $$L = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} = \theta \cdot r$$

Kreissegment

Es ist die Fläche zwischen einer Sehne und ihrem Bogen. Man berechnet sie, indem man vom Flächeninhalt des Sektors den Flächeninhalt des von den Radien und der Sehne gebildeten gleichschenkligen Dreiecks subtrahiert.

$$A = \frac{r^2}{2} (\theta - \sin \theta)$$

(wobei $\theta$ im Bogenmaß ist)

Kreisring

• Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Durchmesser:

  $$A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)$$

• Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Radius:

  $$A = \pi (R^2 - r^2)$$

(wobei $R$ und $r$ die Radien, $D$ und $d$ die Durchmesser sind)

Kreisringausschnitt

• Flächeninhalt (Winkel in Grad $\alpha^\circ$):

  $$A = \frac{\pi \cdot \alpha^\circ}{4 \cdot 360^\circ} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\pi \alpha^\circ}{360^\circ} (R^2 - r^2)$$

• Flächeninhalt (Winkel in Bogenmaß $\theta$):

  $$A = \frac{\theta}{8} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\theta}{2} (R^2 - r^2)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III