Vorbegriffe

Addition und Subtraktion

Distributivgesetz

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Multiplikation

Vorzeichenregeln

(+)⋅(+)=(+)(+)\cdot(+) = (+)

(−)⋅(+)=(−)(-)\cdot(+) = (-)

(+)⋅(−)=(−)(+)\cdot(-) = (-)

(−)⋅(−)=(+)(-)\cdot(-) = (+)

Assoziativgesetz

a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c 

title: Potenzgesetze  
$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$  
$$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$$  
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$  
$$(a^{\alpha} \cdot b^{\beta})^n = a^{\alpha n} \cdot b^{\beta n}$$

Bemerkenswerte Identitäten

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

Division

Vorzeichenregeln

(+)(+)=(+)\frac{(+)}{(+)} = (+)

(−)(+)=(−)\frac{(-)}{(+)} = (-)

(+)(−)=(−)\frac{(+)}{(-)} = (-)

(−)(−)=(+)\frac{(-)}{(-)} = (+) 

title: Potenzgesetze  
$$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a^\alpha}{b^\beta} \right)^n = \frac{a^{\alpha n}}{b^{\beta n}} \quad (b \neq 0)$$

Fundamentale Sätze

Kehrwerte (negative Exponenten)

a−n=1an; a≠0a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{; } a \neq 0

0−n0^{-n} ist nicht definiert für n>0n > 0.

Distributivgesetz über die Division

a+bc=ac+bc(c≠0)\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \quad (c \neq 0) 

title: Rechenregeln für Brüche  
**Voraussetzung:** $y, z, w, k \neq 0$  
$$\frac{x}{y} = x \left( \frac{1}{y} \right)$$  
$$\left( \frac{x}{y} \right) \left( \frac{w}{k} \right) = \frac{xw}{yk}$$  
$$\frac{xy}{wx} = \frac{y}{w}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{z}{y} = \frac{x + z}{y}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{w}{z} = \frac{xz + yw}{yz}$$  
$$\frac{x}{y} \div \frac{w}{z} = \frac{xz}{yw}$$  
$$x + \frac{y}{w} = \frac{xw + y}{w}$$

Wichtige Hinweise

title: Wesentliche Einschränkung  
Division durch null ist **nicht definiert**. Alle Nenner müssen $\neq 0$ sein.

Nützliche Äquivalenzen

−ab=−ab=a−b-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

a+bc+xy=a+bcy+xy=a+bycy+x(cy+x≠0)a+\frac{b}{c+\dfrac{x}{y}}=a+\frac{b}{\dfrac{cy+x}{y}}=a+\frac{by}{cy+x} \quad (cy + x \neq 0)

Mathematische Symbole

Begriff Symbol Begriff Symbol Begriff Symbol
plus + größer als >> es existiert mindestens ein ∃\exists
minus - kleiner als << es existiert genau ein ∃!\exists!
Multiplikation ⋅\cdot größer oder gleich ≥\geq existiert nicht ∄\nexists
Division ÷\div kleiner oder gleich ≤\leq folglich / daher →\rightarrow
gleich = Element von ∈\in genau dann, wenn ↔\leftrightarrow
ungleich ≠\neq nicht Element von ∉\notin Negation ∼\sim
identisch ≡\equiv Teilmenge oder gleich ⊆\subseteq Konjunktion „und“ ∧\land
nicht identisch ≢\not\equiv echte Teilmenge ⊂\subset Disjunktion „oder“ ∨\lor
ungefähr ≈\approx keine Teilmenge ⊄\not\subset Menge der natürlichen Zahlen N\mathbb{N}
Unendlich ∞\infty leere Menge ∅\varnothing Menge der ganzen Zahlen Z\mathbb{Z}
plus unendlich +∞+\infty offenes Intervall (a,b)(a,b) (a,b)(a,b) Menge der rationalen Zahlen Q\mathbb{Q}
minus unendlich −∞-\infty abgeschlossenes Intervall [a,b][a,b] [a,b][a,b] Menge der irrationalen Zahlen I\mathbb{I}
Vereinigung ∪\cup halboffenes Intervall [a,b)[a,b) [a,b)[a,b) Menge der reellen Zahlen R\mathbb{R}
Durchschnitt ∩\cap Zahlengerade (−∞,∞)(-\infty, \infty) Menge der komplexen Zahlen C\mathbb{C}
daher ∴\therefore Summe (Summenzeichen) ∑\sum Fakultät n!n!
weil / da ∵\because Produkt (Produktzeichen) ∏\prod Betrag von xx ∣x∣\lvert x \rvert
parallel ∥\parallel Quadratwurzel \sqrt{} Gaußklammer (größte ganze Zahl ≤ xx) ⌊x⌋\lfloor x \rfloor
nicht parallel ∦\nparallel Potenz aba^b Prozent %\%
so dass ∣\mid für alle ∀\forall Vielfaches von xx x˙\dot{x}
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