Logarithmen

Logarithmen in den reellen Zahlen

• Definitionsbereich: $a \in (0, +\infty)$
• Wertebereich: $c \in \mathbb{R}$
• Einschränkungen:

  $$b > 0, \quad b \neq 1$$

{% jsxgraph {"fn": "log(x)/log(2)", "dy":[-2,10]} %}

$$f(x)=\log_2 x$$

Graph der Logarithmusfunktion zur Basis 2. Beachten Sie, dass die Funktion streng monoton steigend ist und nur für positive Zahlen definiert ist.

Allgemeine Eigenschaften von Logarithmen

Der Logarithmus der Basis ist gleich eins

$$\boxed{\log_b b = 1}$$

Beispiele:

• $\log_2 2 = 1$
• $\log_{10} 10 = 1$
• $\log_5 5 = 1$
• $\log_e e = 1$
• $\log_{100} 100 = 1$
• $\log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$

Der Logarithmus von 1 ist in jeder Basis null

$$\boxed{\log_b 1 = 0}$$

Beispiele:

• $\log_2 1 = 0$
• $\log_{10} 1 = 0$
• $\log_5 1 = 0$
• $\log_e 1 = 0 \quad \text{(d. h. } \ln 1 = 0)$
• $\log_{100} 1 = 0$
• $\log_{\sqrt{3}} 1 = 0$

Logarithmus eines Produkts in derselben Basis

$$\boxed{\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y}$$

Beispiele:

• $\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$
• $\log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27$
• $\log_{10} (5 \cdot 2) = \log_{10} 5 + \log_{10} 2$
• $\ln (e \cdot e^2) = \ln e + \ln e^2$
• $\log_5 (25 \cdot 125) = \log_5 25 + \log_5 125$
• $\log_6 (6 \cdot 36) = \log_6 6 + \log_6 36$

Logarithmus eines Quotienten in derselben Basis

$$\boxed{\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y}$$

Beispiele:

• $\log_2 \left(\frac{8}{2}\right) = \log_2 8 - \log_2 2$
• $\log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9$
• $\log_{10} \left(\frac{1000}{10}\right) = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10$
• $\ln \left(\frac{e^5}{e^2}\right) = \ln e^5 - \ln e^2$
• $\log_5 \left(\frac{125}{25}\right) = \log_5 125 - \log_5 25$
• $\log_6 \left(\frac{36}{6}\right) = \log_6 36 - \log_6 6$

Logarithmus einer Potenz

$$\boxed{\log_b (x^n) = n \log_b x}$$

Beispiele:

• $\log_2 (4^3) = 3 \log_2 4$
• $\log_3 (9^2) = 2 \log_3 9$
• $\log_{10} (100^4) = 4 \log_{10} 100$
• $\ln (e^7) = 7 \ln e$
• $\log_5 (25^3) = 3 \log_5 25$
• $\log_6 (6^5) = 5 \log_6 6$

Logarithmus einer Wurzel

$$\boxed{\log_b \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_b x}$$

Beispiele:

• $\log_2 \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3} \log_2 8$
• $\log_3 \sqrt{9} = \frac{1}{2} \log_3 9$
• $\log_{10} \sqrt[4]{10000} = \frac{1}{4} \log_{10} 10000$
• $\ln \sqrt[5]{e^{10}} = \frac{1}{5} \ln e^{10}$
• $\log_5 \sqrt[3]{125} = \frac{1}{3} \log_5 125$
• $\log_6 \sqrt{36} = \frac{1}{2} \log_6 36$

Logarithmus mit exponentielle Basis und exponentiellem Argument

$$\boxed{\log_{b^m} x^n = \frac{n}{m} \log_b x}$$

Beispiele:

• $\log_{2^3} 8^2 = \frac{2}{3} \log_2 8$
• $\log_{10^2} 100^4 = \frac{4}{2} \log_{10} 100$
• $\log_{3^4} 9^2 = \frac{2}{4} \log_3 9$
• $\log_{e^5} e^7 = \frac{7}{5} \ln e$
• $\log_{5^2} 25^3 = \frac{3}{2} \log_5 25$
• $\log_{6^6} 6^3 = \frac{3}{6} \log_6 6$

Äquivalenz logarithmischer Ausdrücke

$$\boxed{\log_{b} x = \log_{b^n} x^n = \log_{\sqrt[m]{b}} \sqrt[m]{x}}$$

Kettenregel

$$\boxed{\log_{b} y \cdot \log_{y} a \cdot \log_{a} x = \log_{b} x}$$

Beispiele:

• $\log_{2} 4 \cdot \log_{4} 8 \cdot \log_{8} 16 = \log_{2} 16$
• $\log_{3} 9 \cdot \log_{9} 27 \cdot \log_{27} 3 = \log_{3} 3$
• $\log_{10} 100 \cdot \log_{100} 1000 \cdot \log_{1000} 10 = \log_{10} 10$
• $\log_{5} 25 \cdot \log_{25} 125 \cdot \log_{125} 625 = \log_{5} 625$
• $\ln 2 \cdot \log_{2} e \cdot \log_{e} 4 = \ln 4$
• $\log_{6} 36 \cdot \log_{36} 6 \cdot \log_{6} 216 = \log_{6} 216$

Einheitsprodukt

$$\boxed{\log_{b} x \cdot \log_{x} b = 1}$$

$$\log_{b} x = \frac{1}{\log_{x} b}$$

Basiswechsel

$$\boxed{\log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}}$$

$$(k > 0, k \neq 1)$$

Vertauschungsregel

$$\boxed{x^{\log_b y} = y^{\log_b x}}$$

Spezielle Eigenschaften

$$\boxed{b^{\log_b x} = x}$$

Kologarithmus

Definiert als der Logarithmus des Kehrwerts einer Zahl:

$$\boxed{\operatorname{colog}_b x = \log_b \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_b x}$$

$$x > 0, b > 0 \land b \neq 1$$

Beispiele:

• $\operatorname{colog}_{10} 2 = \log_{10} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log_{10} 2 \approx -0.3010$
• $\operatorname{colog}_{2} 8 = \log_{2} \left(\frac{1}{8}\right) = -\log_{2} 8 = -3$
• $\operatorname{colog}_{e} 5 = \ln \left(\frac{1}{5}\right) = -\ln 5 \approx -1.6094$
• $\operatorname{colog}_{3} 9 = \log_{3} \left(\frac{1}{9}\right) = -\log_{3} 9 = -2$
• $\operatorname{colog}_{5} 25 = \log_{5} \left(\frac{1}{25}\right) = -\log_{5} 25 = -2$
• $\operatorname{colog}_{4} 16 = \log_{4} \left(\frac{1}{16}\right) = -\log_{4} 16 = -2$

Antilogarithmus

Es ist die Umkehroperation des Logarithmus:

$$\boxed{\operatorname{antilog}_b x = b^x}$$

$$b > 0, b \neq 1 \land x \in \mathbb{R}$$

Beispiele:

• $\operatorname{antilog}_{10} 2 = 10^2 = 100$
• $\operatorname{antilog}_{2} 3 = 2^3 = 8$
• $\operatorname{antilog}_{e} 1 = e^1 \approx 2.7183$
• $\operatorname{antilog}_{3} 4 = 3^4 = 81$
• $\operatorname{antilog}_{5} 0 = 5^0 = 1$
• $\operatorname{antilog}_{10} (-1) = 10^{-1} = 0.1$

$$\operatorname{antilog}_b (\log_{b}x) = x$$

$$\log_{b} (\operatorname{antilog}_b x) = x$$

Logarithmensysteme

1. Dekadischer Logarithmus (Basis 10):

   $$\log_{10} x \equiv \log x ; \quad x > 0$$

2. Natürlicher Logarithmus (Basis $e$):

   $$\log_e x = \ln x ; \quad x > 0$$

   $$\ln e = 1$$

Systemumrechnung

$$\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{\log a}{\log b}$$

Zur Umrechnung zwischen den Basen $m$ und $n$:

$$\log_b a = \frac{\log_{m} a}{\log_{m} b} = \frac{\log_{n} a}{\log_{n} b}$$

Logarithmusgleichungen

1. Basisgleichung:

   $$\log_b f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f(x) = b^c$$

2. Gleichung mit gleicher Basis:

   $$\log_b f(x) = \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) = g(x)$$

Logarithmische Ungleichungen

Die Basis beachten:

1. Wenn $b > 1$ (steigende Funktion):

   $$\log_b f(x) > \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) > g(x) > 0$$

2. Wenn $0 < b < 1$ (fallende Funktion):

   $$\log_b f(x) > \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad 0 < f(x) < g(x)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III