Die Gerade

Definition

Eine Gerade ist der geometrische Ort aller Punkte in der Ebene, die einer konstanten Richtung folgen.

Neigungswinkel

Der Neigungswinkel $\theta$ einer Geraden ist der Winkel, der entgegen dem Uhrzeigersinn vom positiven $x$ -Achsenstrahl zur Geraden gemessen wird, wobei $0^\circ \leq \theta < 180^\circ$ gilt.

$Neigungswinkel – equationzone.com$

Steigung einer Geraden

Die Steigung $m$ einer Geraden ist definiert als der Tangens ihres Neigungswinkels:

\boxed{m = \tan \theta}

Beobachtungen:
1. Falls $\theta < 90^\circ$, dann ist $m > 0$ → die Gerade ist **steigend**.  
![Positive Steigung – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918270/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/79152cb167099c92eaa01cef138017cb.png)
2. Falls $\theta > 90^\circ$, dann ist $m < 0$ → die Gerade ist **fallend**.  
![Negative Steigung – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918322/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/58bbd0a27ccd5d0bd67def627936bfcb.png)
3. Falls $\theta = 90^\circ$, dann ist $m$ **nicht definiert** → die Gerade ist **vertikal**.

Formen der Geradengleichung

Punkt-Steigungs-Form

Gegeben ein Punkt $P_1(x_1, y_1)$ und eine Steigung $m$ :

y - y_1 = m(x - x_1)

Punkt-Steigungs-Form – equationzone.com

Zweipunkteform (kartesische Form)

Gegeben zwei verschiedene Punkte $P_1(x_1, y_1)$ und $P_2(x_2, y_2)$ mit $x_1 \ne x_2$ :

y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)

Zweipunkteform – equationzone.com

Steigungsabschnittsform (Hauptform)

Gegeben die Steigung $m$ und der $y$ -Achsenabschnitt $b$ (der Punkt, an dem die Gerade die $y$ -Achse schneidet):

y = mx + b

Dabei gilt:

$m$ : Steigung
$b$ : $y$ -Achsenabschnitt

Steigungsabschnittsform – equationzone.com

Achsenabschnittsform (symmetrische Form)

Falls die Gerade die $x$ -Achse im Punkt $(a, 0)$ und die $y$ -Achse im Punkt $(0, b)$ schneidet, mit $a \ne 0$ und $b \ne 0$ :

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

Dabei gilt:

$a$ : $x$ -Achsenabschnitt
$b$ : $y$ -Achsenabschnitt

Achsenabschnittsform – equationzone.com

Allgemeine Form der Geradengleichung

Jede Gerade lässt sich schreiben als:

\boxed{Ax + By + C = 0}

wobei $A, B, C \in \mathbb{R}$ und nicht alle gleichzeitig null sind.

Spezialfälle:
1. Falls $A = 0$, $B \ne 0$, $C \ne 0$:  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{C}{B}$ → **horizontale Gerade** (parallel zur $x$-Achse).
2. Falls $B = 0$, $A \ne 0$, $C \ne 0$:  
   $\Rightarrow x = -\dfrac{C}{A}$ → **vertikale Gerade** (parallel zur $y$-Achse).
3. Falls $A \ne 0$, $B \ne 0$:  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$ → Steigungsabschnittsform mit Steigung $m = -\dfrac{A}{B}$.

$Allgemeine Form – equationzone.com$

Winkel zwischen zwei Geraden

Gegeben zwei Geraden mit Steigungen $m_1$ und $m_2$ , so ist der spitze Winkel $\theta$ zwischen ihnen:

\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|

$Winkel zwischen zwei Geraden – equationzone.com$

title: Hinweis:
Diese Formel liefert stets den **spitzen Winkel** zwischen den Geraden. Für den stumpfen Winkel verwendet man $180^\circ - \theta$.

Lagebeziehungen zweier Geraden

Gegeben seien die Geraden:

\begin{aligned} \mathscr{L}_1 &: A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ \mathscr{L}_2 &: A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{aligned}

Senkrechte Geraden

Zwei Geraden sind senkrecht zueinander, wenn ihre Steigungen $m_1 \cdot m_2 = -1$ erfüllen. In Koeffizientenform:

\boxed{A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0}

$Senkrechte Geraden – equationzone.com$

Parallele Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung besitzen:

m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}} \quad \text{(sofern } A_2, B_2 \ne 0\text{)}

$Parallele Geraden – equationzone.com$

title: Hinweis:
Falls zusätzlich $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{A_1}{A_2}$ gilt, dann sind die Geraden **identisch** (deckungsgleich).

Identische Geraden

Zwei Geraden sind identisch, wenn alle ihre Koeffizienten proportional sind:

\boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}}

Sich schneidende (windschiefe) Geraden

Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, wenn sie nicht parallel sind:

\boxed{A_1 B_2 - A_2 B_1 \ne 0}

Normalenform der Geradengleichung

Die Normalenform einer Geraden lautet:

x \cos \omega + y \sin \omega - p = 0

Dabei gilt:

$\omega$ : Winkel zwischen dem Normalenvektor und der positiven $x$ -Achse ( $0^\circ \leq \omega < 360^\circ$ )
$p$ : senkrechter Abstand des Ursprungs zur Geraden (stets $p \geq 0$ )

$Normalenform – equationzone.com$

Umwandlung der allgemeinen Form in die Normalenform

Gegeben $Ax + By + C = 0$ , teilt man durch $\sqrt{A^2 + B^2}$ und wählt das Vorzeichen entgegengesetzt zu dem von $C$ , um $p \geq 0$ sicherzustellen:

\frac{A}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}x + \frac{B}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}y + \frac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} = 0

Das Vorzeichen wird so gewählt, dass $\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \leq 0$ gilt, was $p = -\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \geq 0$ garantiert.

Anwendungen der Normalenform

Abstand eines Punktes von einer Geraden (absoluter Abstand)

Gegeben ein Punkt $P_1(x_1, y_1)$ und eine Gerade $Ax + By + C = 0$ , so ist der (stets nichtnegative) senkrechte Abstand:

d(P_1, \mathscr{L}) = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Abstand Punkt–Gerade – equationzone.com

Gerichteter Abstand eines Punktes von einer Geraden

Der gerichtete Abstand $d$ trägt ein Vorzeichen, das von der Orientierung des Normalenvektors $(A, B)$ abhängt:

d = \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Gerichteter Abstand – equationzone.com

title: Wichtig  
Der Nenner ist stets positiv. Das Vorzeichen von $d$ hängt vom Zähler ab und gibt an, auf welcher Seite des **Normalenvektors** $(A, B)$ sich der Punkt befindet:
- Ist $d > 0$: Der Punkt liegt in Richtung des Normalenvektors.
- Ist $d < 0$: Der Punkt liegt in der entgegengesetzten Richtung.

Spezialfälle:

Gerade verläuft nicht durch den Ursprung ( $C \ne 0$ ):
- $d > 0$ , wenn $P_1$ und der Ursprung auf entgegengesetzten Seiten der Geraden liegen.
- $d < 0$ , wenn sie auf der gleichen Seite liegen.
Gerade verläuft durch den Ursprung ( $C = 0$ ):
- $d > 0$ , wenn $P_1$ „oberhalb“ der Geraden liegt (in Richtung von $(A, B)$ ).
- $d < 0$ , wenn er „unterhalb“ liegt.

title: Hinweis:  
Das Vorzeichen des gerichteten Abstands wird **nur durch den Zähler** bestimmt. Im Nenner wird **niemals** ein $\pm$ verwendet – nach moderner Konvention ist der Nenner stets **positiv**.

Winkelhalbierende zweier sich schneidender Geraden

Gegeben zwei Geraden $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ und $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ , so sind die Winkelhalbierenden der geometrische Ort aller Punkte, die von beiden Geraden denselben Abstand haben:

\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

Durch Weglassen der Betragsstriche erhält man die beiden Winkelhalbierenden:

\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

- Verwenden Sie das **+**-Zeichen für die Halbierende des Winkels, der die Richtung der Summe der Einheitsnormalenvektoren enthält (oft der **spitze** Winkel).  
- Verwenden Sie das **–**-Zeichen für die Halbierende des **stumpfen** Winkels.

$Winkelhalbierende – equationzone.com$

Abstand zwischen zwei parallelen Geraden

Gegeben zwei parallele Geraden $\mathscr{L}_1: Ax + By + C_1 = 0$ und $\mathscr{L}_2: Ax + By + C_2 = 0$ (gleiche $A$ und $B$ ), so ist der Abstand zwischen ihnen:

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Abstand paralleler Geraden – equationzone.com

title: Hinweis:  
Diese Formeln setzen voraus, dass beide Gleichungen **identische Koeffizienten** $A$ und $B$ besitzen.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Gegeben drei Eckpunkte $P_1(x_1, y_1)$ , $P_2(x_2, y_2)$ , $P_3(x_3, y_3)$ , so ist der Flächeninhalt des Dreiecks:

\text{Fläche} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|

Oder mit Hilfe einer Determinante:

\text{Fläche} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|

Flächeninhalt eines Dreiecks – equationzone.com

Determinantenform der Geraden durch zwei Punkte

Gegeben $P_1(x_1, y_1)$ und $P_2(x_2, y_2)$ , so lautet die Geradengleichung:

\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0

Geradenbüschel

Büschel paralleler Geraden zu einer gegebenen Geraden

Gegeben die Gerade $Ax + By + C = 0$ , so lautet das Büschel aller parallelen Geraden:

Ax + By + k = 0 \quad \text{für } k \in \mathbb{R}

$Büschel paralleler Geraden – equationzone.com$

Büschel senkrechter Geraden zu einer gegebenen Geraden

Hat eine gegebene Gerade die Steigung $m$ , so besitzen alle dazu senkrechten Geraden die Steigung $-\dfrac{1}{m}$ . Falls sie durch einen festen Punkt $(x_0, y_0)$ verlaufen:

y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)

In allgemeiner Form: Ist die ursprüngliche Gerade $Ax + By + C = 0$, so haben alle senkrechten Geraden die Form $Bx - Ay + k = 0$.

$Büschel senkrechter Geraden – equationzone.com$

Büschel konkurrenter Geraden durch einen Punkt

Gegeben zwei sich schneidende Geraden $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ und $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ , so ist das Büschel aller Geraden, die durch ihren Schnittpunkt verlaufen:

A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0 \quad \text{für } \lambda \in \mathbb{R}

title: Hinweis:  
Der Wert $\lambda = -1$ kann je nach Kontext einer Ferngeraden oder einem entarteten Fall entsprechen.

$Büschel konkurrenter Geraden – equationzone.com$