Grundlegende Konzepte

Kartesisches Koordinatensystem

Kartesisches Koordinatensystem

  • Rechtwinkliges Koordinatensystem: xx-Achse (Abszissen) und yy-Achse (Ordinaten)
  • Ursprung: Punkt (0,0)(0,0)

Quadranten

Quadranten

  • Vier Quadranten, nummeriert von I bis IV entgegen dem Uhrzeigersinn
  • Vorzeichen:
    • Quadrant I: (+,+)(+,+)
    • Quadrant II: (−,+)(-,+)
    • Quadrant III: (−,−)(-,-)
    • Quadrant IV: (+,−)(+,-)

Punkte

  • Darstellung: P(x,y)P(x,y)
    Punkte
  • Spezielle Punkte:
    • Ursprung: O(0,0)O(0,0)
    • Auf der xx-Achse: (a,0)(a,0)
    • Auf der yy-Achse: (0,b)(0,b)

Abstand zwischen zwei Punkten

Für P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1) und P2(x2,y2)P_2(x_2,y_2):
Abstand zwischen zwei Punkten

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Abstand zwischen zwei Punkten in Polarkoordinaten

Gegeben zwei Punkte in Polarkoordinaten:

  • P1(r1,θ1)P_1(r_1, \theta_1)
  • P2(r2,θ2)P_2(r_2, \theta_2)
    Abstand in Polarkoordinaten

Der Abstand dd zwischen ihnen ist:

d=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ2−θ1)d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)}

Mittelpunkt einer Strecke

Mittelpunkt MM zwischen P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1) und P2(x2,y2)P_2(x_2,y_2):
Mittelpunkt

M(x1+x22,y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)

Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis

Teilung einer Strecke im Verhältnis

Punkt PP, der die Strecke P1P2P_1P_2 im Verhältnis P1PPP2=mn=λ\dfrac{P_1P}{PP_2} = \dfrac{m}{n} = \lambda teilt:

x=nx1+mx2n+m=x1+λx21+λ,y=ny1+my2n+m=y1+λy21+λx = \frac{nx_1 + mx_2}{n + m} = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{ny_1 + my_2}{n + m} = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}

P(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ)P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)

Koordinaten des Schwerpunkts eines Dreiecks

Schwerpunkt eines Dreiecks

x=x1+x2+x33x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}

y=y1+y2+y33y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}

Flächeninhalt eines Dreiecks

Flächeninhalt eines Dreiecks

Gegeben die Eckpunkte (x1,y1)(x_1, y_1), (x2,y2)(x_2, y_2) und (x3,y3)(x_3, y_3), ist der Flächeninhalt:

Fla¨che=12∣∣x1y11x2y21x3y31∣∣\text{Fläche} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|

Die Determinante berechnet sich als:

∣x1y11x2y21x3y31∣=x1(y2−y3)−y1(x2−x3)+(x2y3−x3y2)\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} = x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + (x_2 y_3 - x_3 y_2)

In der Praxis vereinfacht sich dies zu:

Fla¨che=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\text{Fläche} = \frac{1}{2} \big| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \big| 

title: Beispiel  
Gegeben die Eckpunkte $P_1(2, 4)$, $P_2(5, 6)$ und $P_3(3, 1)$:  
1. **Stelle die Matrix auf**:  
  $$ \begin{vmatrix}
   2 & 4 & 1 \\
   5 & 6 & 1 \\
   3 & 1 & 1 \\
   \end{vmatrix} $$

2. **Berechne die Determinante** (nach der Regel von Sarrus):  
$$= 2(6 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 4(5 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + 1(5 \cdot 1 - 3 \cdot 6)$$  
$$= 2(6 - 1) - 4(5 - 3) + 1(5 - 18)$$  
$$= 2(5) - 4(2) + 1(-13) = 10 - 8 - 13 = -11$$  
3. **Betrag nehmen und durch 2 teilen**:  
$$\text{Fläche} = \frac{1}{2} |-11| = 5{,}5 \text{ FE}$$

Flächeninhalt eines Polygons

Flächeninhalt eines Polygons

Allgemeine Formel („Shoelace-Formel“)

Für die Eckpunkte $(x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)$:  
$$
\text{Fläche} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i y_{i+1} \right) - \sum_{i=1}^{n} \left( y_i x_{i+1} \right) \right|
$$  
wobei:  
- $x_{n+1} = x_1$ und $y_{n+1} = y_1$ (schließen des Polygons).  
- Die Eckpunkte müssen **im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn** geordnet sein (ohne Selbstüberschneidung).

Schritte zur Anwendung der Formel:

  1. Geordnete Liste der Eckpunkte: Schreibe die Koordinaten in Reihenfolge auf (z. B. P1→P2→P3→⋯→P1P_1 \to P_2 \to P_3 \to \dots \to P_1).
  2. Summe 1 (Σ1\Sigma_1): Multipliziere jede xix_i mit der yy-Koordinate des nächsten Punktes (yi+1y_{i+1}) und summiere.
  3. Summe 2 (Σ2\Sigma_2): Multipliziere jede yiy_i mit der xx-Koordinate des nächsten Punktes (xi+1x_{i+1}) und summiere.
  4. Differenz und Betrag: Berechne ∣Σ1−Σ2∣|\Sigma_1 - \Sigma_2| und teile durch 2.
title: Beispiel  
Eckpunkte in Reihenfolge: $P_{1}(2, 4)$, $P_{2}(5, 6)$, $P_{3}(3, 1)$, $P_{4}(1, 2)$.  
1. **Polygon schließen, indem $P_{1}$ am Ende wiederholt wird**:  
$$(2,4), (5,6), (3,1), (1,2), (2,4)$$  
2. **Berechne $\Sigma_1$ (Diagonalen nach unten ➘)**:  
$(2 \times 6) + (5 \times 1) + (3 \times 2) + (1 \times 4) = 12 + 5 + 6 + 4 = 27$  
3. **Berechne $\Sigma_2$ (Diagonalen nach oben ➚)**:  
$(4 \times 5) + (6 \times 3) + (1 \times 1) + (2 \times 2) = 20 + 18 + 1 + 4 = 43$  
4. **Fläche**:  
$$\text{Fläche} = \frac{1}{2} |27 - 43| = \frac{16}{2} = 8 \text{ FE}$$
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