Der Kreis

Definition

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, die von einem festen Punkt, dem sogenannten Mittelpunkt, denselben Abstand haben. Dieser konstante Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis heißt Radius.

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Elemente des Kreises

![Elemente des Kreises](https://res.cloudinary.com/dze1acg2c/image/upload/v1766501620/equationzone/sa9eg8jjqzul5sszd3co.png)
- **Mittelpunkt** ($C$): Der feste innere Punkt, von dem aus alle Punkte des Kreises gleich weit entfernt sind.
- **Radius** ($r = CU$): Der Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt des Kreises.
- **Durchmesser** ($d$): Eine Sehne, die durch den Mittelpunkt verläuft. Es gilt $d = 2r$.
- **Sehne** ($\overline{MN}$): Eine Strecke, die zwei beliebige Punkte des Kreises verbindet.
- **Kreisbogen**: Ein Abschnitt des Kreisumfangs zwischen zwei Punkten.
- **Tangente**: Eine Gerade, die den Kreis in **genau einem Punkt** berührt.
- **Sekante**: Eine Gerade, die den Kreis in **zwei verschiedenen Punkten** schneidet.

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Kreisgleichungen

1. Mittelpunktform (Mittelpunkt bei $(h, k)$)

$$\boxed{\mathscr{K}:(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2}$$

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt $(h, k)$ und Radius $r > 0$.

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2. Spezialfall: Mittelpunkt im Ursprung

$$\boxed{\mathscr{K}: x^2 + y^2 = r^2}$$

Spezialfälle:

• Für $r = 1$: $x^2 + y^2 = 1$ → der Einheitskreis.
• Für $r = 0$: $x^2 + y^2 = 0$ → beschreibt nur den Punkt $(0, 0)$.

Kreise, die die Koordinatenachsen berühren

• Tangente an die $x$-Achse:
  Mittelpunkt $(h, k)$, Radius $r = |k|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$$

  

• Tangente an die $y$-Achse:
  Mittelpunkt $(h, k)$, Radius $r = |h|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = h^2$$

  

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3. Parametrische Gleichungen

Gegeben seien Mittelpunkt $C = (x_0, y_0)$ und Radius $r$. Jeder Punkt $M$ auf dem Kreis lässt sich darstellen als:

$$\begin{cases} x = x_0 + r \cos \theta \\ y = y_0 + r \sin \theta \end{cases} \quad \text{mit } \theta \in [0, 2\pi)$$

Dabei ist $\theta$ der Winkel, gemessen von der positiven $x$-Achse aus.

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4. Polargleichung

• Allgemeiner Kreis (Mittelpunkt bei $(\rho_0, \varphi_0)$, Radius $r$):

$$\rho^2 - 2\rho\rho_0\cos(\varphi - \varphi_0) + \rho_0^2 = r^2$$

title: Hinweis:
Manche Lehrbücher verwenden ein Pluszeichen, doch die obige Form stimmt mit dem Kosinussatz überein und wird aus Gründen der Konsistenz bevorzugt.

• Spezialfall: Kreis durch den Pol mit Mittelpunkt auf der Polarachse ($\varphi = 0$):

$$\boxed{\rho = 2r \cos \varphi}$$

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5. Allgemeine Form der Kreisgleichung

$$\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0}$$

• Mittelpunkt: $\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)$
• Radius: $r = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F}$

title: Bedingung für einen reellen Kreis
$$\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F > 0$$
- Ist der Ausdruck gleich null, beschreibt die Gleichung einen **Punktkreis**.
- Ist er negativ, handelt es sich um einen **imaginären Kreis** (keine reellen Punkte).

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Bestimmung eines Kreises

Zur eindeutigen Festlegung eines Kreises sind drei unabhängige Bedingungen erforderlich. Typische Fälle sind:

• Drei nicht kollineare Punkte.
• Mittelpunkt und Radius.
• Mittelpunkt und ein Punkt auf dem Kreis.
• Zwei Punkte und die Tangente in einem davon.
• Ein Punkt und zwei Tangenten.

Man setzt die gegebenen Bedingungen in die Mittelpunkt- oder allgemeine Form ein und löst das entstehende Gleichungssystem.

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Kreisbüschel

Gegeben seien zwei Kreise:

$$\begin{aligned} \mathscr{K}_1 &: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 \\ \mathscr{K}_2 &: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 \end{aligned}$$

Das Büschel aller Kreise, die durch ihre Schnittpunkte verlaufen, ist:

$$\mathscr{K}_1 + \lambda \mathscr{K}_2 = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R},\ \lambda \ne -1)$$

Äquivalent:

$$x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0$$

title: Hinweis:
Die Gleichung $\mathscr{K}_1 - \mathscr{K}_2 = 0$ ergibt die **Radikalachse** – die Gerade aller Punkte, die bezüglich beider Kreise dieselbe Potenz besitzen.

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Tangenten an einen Kreis

1. Tangente im Punkt $P(x_1, y_1)$ auf dem Kreis

• Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung ($x^2 + y^2 = r^2$):

$$x x_1 + y y_1 = r^2$$

• Kreis mit Mittelpunkt $(h, k)$:

$$(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2$$

2. Tangentenbedingung für eine Gerade

Gegeben sei eine Gerade $Ax + By + C = 0$ und ein Kreis mit Mittelpunkt $(h, k)$ und Radius $r$. Die Gerade ist genau dann eine Tangente, wenn der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden gleich dem Radius ist:

$$\frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r$$

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Koordinatentransformationen

1. Translation der Koordinatenachsen

Werden die Koordinatenachsen so verschoben, dass der neue Ursprung bei $(h, k)$ liegt, so gilt:

$$\begin{cases} x = x' + h \\ y = y' + k \end{cases} \quad \text{bzw. umgekehrt} \quad \begin{cases} x' = x - h \\ y' = y - k \end{cases}$$

Diese Transformation eliminiert die linearen Terme in der allgemeinen Gleichung und führt sie auf die Mittelpunktform zurück.

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2. Drehung der Koordinatenachsen

Bei einer Drehung der Achsen um einen Winkel $\theta$ gilt der Zusammenhang zwischen den alten $(x, y)$ und neuen $(x', y')$ Koordinaten:

$$\begin{cases} x = x' \cos\theta - y' \sin\theta \\ y = x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{cases}$$

3. Eliminierung des $xy$-Terms bei Kegelschnitten

Für eine allgemeine quadratische Gleichung

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$$

wird das gemischte Glied $xy$ durch Drehung der Achsen um einen Winkel $\theta$ eliminiert, der folgende Bedingung erfüllt:

$$\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} \quad \text{(falls } A \ne C\text{)}$$

Ist $A = C$, so gilt $\theta = 45^\circ$.

title: Hinweis:
Obwohl der **Kreis niemals ein $xy$-Glied enthält** (wegen seiner Rotationssymmetrie), ist diese Methode für die Analyse anderer Kegelschnitte unerlässlich und wird hier der Vollständigkeit halber im Kontext von Koordinatentransformationen aufgeführt.

Practice Problems

Level I

Level II

Level III