Aires des Figures Planes

Aire des Figures Planes

Triangle

• Formule générale (base et hauteur) :

  $$A = \frac{b \cdot h}{2}$$

• Formule de Héron (côtés) :

  $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

  où $s = \frac{a + b + c}{2}$ est le demi-périmètre.

Triangle Acutangle

Avec deux côtés ($a$, $b$) et la base $c$ connus :

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{a^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c} \right)^2}$$

Triangle Obtusangle

Avec deux côtés ($a$, $b$) et la base $c$ connus :

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{b^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{2c} \right)^2}$$

Triangle Équilatéral

• Avec le côté $a$ et la hauteur $h$ :

  $$A = \frac{a \cdot h}{2}$$

  $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

• En fonction du côté $a$ :

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• En fonction de la hauteur $h$ :

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$

• En fonction du diamètre $d$ du cercle circonscrit :

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{16} d^2$$

• En fonction du rayon $r$ du cercle inscrit :

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2$$

Carré

• En fonction du côté $l$ :

  $$A = l^2$$

  $$l = \sqrt{A}$$

• En fonction de la diagonale $d$ :

  $$d = l \cdot \sqrt{2}$$

  $$A = \frac{d^2}{2}$$

• En fonction du rayon $r$ du cercle inscrit :

  $$A = (2r)^2 = 4r^2$$

Rectangle

$$A = b \cdot h$$

$$d = \sqrt{b^2 + h^2}$$

(où $d$ est la diagonale, $b$ la base et $h$ la hauteur)

Parallélogramme

• Aire :

  $$A = b \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

• Diagonales :

  $$d_1 = \sqrt{(a + h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

  $$d_2 = \sqrt{(a - h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

Trapèze

• Aire :

  $$A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h = m \cdot h$$

  (où $B$ et $b$ sont les bases, $h$ la hauteur et $m$ la base moyenne)

• Base moyenne :

  $$m = \frac{B + b}{2}$$

Quadrilatère Irrégulier

On peut le calculer en le divisant en triangles :

$$A = \frac{a(H+h)+d \cdot h + e \cdot H}{2}$$

Pentagone Régulier

• En fonction du rayon $R$ du cercle circonscrit :

  $$A = \frac{5}{8} R^2 \cdot \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$$

  $$A = \frac{5}{2}R^2 \cdot \sin 72^\circ$$

• En fonction du côté $a$ :

  $$A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} \cdot a^2$$

• En fonction de l'apothème $a_{p}$ :

  $$A = 5a_{p}^2 \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$$

  où l'apothème est :

  $$a_{p}= \frac{a}{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

Hexagone Régulier

• En fonction du côté $a$ :

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

• En fonction de la hauteur entre côtés parallèles $h$ :

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{2} h^2$$

• En fonction de la grande diagonale $d$ :

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} d^2$$

• Relations importantes :
  Le côté $a$ est égal au rayon $R$ du cercle circonscrit : $a = R$.
  La hauteur entre côtés parallèles est : $h = \sqrt{3} \cdot a$.
  La grande diagonale est : $d = 2a$.

Octogone Régulier

• Aire en fonction du côté $a$ et de l'apothème $a_{p}$ :

  $$A = \frac{P \cdot a_{p}}{2} = 4 \cdot a \cdot a_{p}$$

• Périmètre :

  $$P = 8a$$

• Apothème :

  $$a_{p} = \frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\pi}{8}$$

• Formules approchées courantes :

  $$A = \frac{8a^2}{4\tan \frac{\pi}{8}} \approx 4.828 \cdot a^2$$

  $$A \approx 0.828 \cdot s^2$$

  (où $s$ est la largeur entre côtés parallèles)

Polygone Irrégulier

On le décompose en triangles et on additionne leurs aires :

$$A_{\text{total}} = A_1 + A_2 + A_3 + \dots$$

$$A_{\text{total}} = \frac{a h_1 + b h_2 + b h_3 \dots}{2}$$

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Aire du Cercle et Sections du Cercle

Cercle

• Aire en fonction du diamètre $d$ :

  $$A = \frac{\pi}{4} d^2$$

• Aire en fonction du rayon $r$ :

  $$A = \pi r^2$$

Quadrant et Triangle Convexe

• Aire du quadrant :

  $$A = \frac{\pi}{16} d^2$$

  $$A = \frac{\pi}{4} r^2$$

• Aire du triangle convexe :

  $$A' = \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) r^2$$

(où $r$ est le rayon et $d$ le diamètre)

Secteur Circulaire

• Aire (angle en degrés $\alpha^\circ$) :

  $$A = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ}$$

• Aire (angle en radians $\theta$) :

  $$A = \frac{\theta}{2} r^2$$

• Longueur de l'arc $L$ :

  $$L = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} = \theta \cdot r$$

Segment Circulaire

C'est l'aire entre une corde et son arc. On la calcule en soustrayant de l'aire du secteur l'aire du triangle isocèle formé par les rayons et la corde.

$$A = \frac{r^2}{2} (\theta - \sin \theta)$$

(où $\theta$ est en radians)

Couronne Circulaire

• Aire en fonction du diamètre :

  $$A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)$$

• Aire en fonction du rayon :

  $$A = \pi (R^2 - r^2)$$

(où $R$ et $r$ sont les rayons, $D$ et $d$ les diamètres)

Secteur de Couronne Circulaire

• Aire (angle en degrés $\alpha^\circ$) :

  $$A = \frac{\pi \cdot \alpha^\circ}{4 \cdot 360^\circ} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\pi \alpha^\circ}{360^\circ} (R^2 - r^2)$$

• Aire (angle en radians $\theta$) :

  $$A = \frac{\theta}{8} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\theta}{2} (R^2 - r^2)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III