Notions Préliminaires

Addition et Soustraction

Propriété distributive

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Multiplication

Règle des signes

(+)⋅(+)=(+)(+)\cdot(+) = (+)

(−)⋅(+)=(−)(-)\cdot(+) = (-)

(+)⋅(−)=(−)(+)\cdot(-) = (-)

(−)⋅(−)=(+)(-)\cdot(-) = (+)

Propriété associative

a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c 

title: Propriétés des exposants  
$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$  
$$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$$  
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$  
$$(a^{\alpha} \cdot b^{\beta})^n = a^{\alpha n} \cdot b^{\beta n}$$

Identités remarquables

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

Division

Règle des signes

(+)(+)=(+)\frac{(+)}{(+)} = (+)

(−)(+)=(−)\frac{(-)}{(+)} = (-)

(+)(−)=(−)\frac{(+)}{(-)} = (-)

(−)(−)=(+)\frac{(-)}{(-)} = (+) 

title: Propriétés des exposants  
$$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a^\alpha}{b^\beta} \right)^n = \frac{a^{\alpha n}}{b^{\beta n}} \quad (b \neq 0)$$

Théorèmes fondamentaux

Inverses (exposants négatifs)

a−n=1an; a≠0a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{; } a \neq 0

0−n0^{-n} n’est pas défini pour n>0n > 0.

Propriété distributive sur la division

a+bc=ac+bc(c≠0)\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \quad (c \neq 0) 

title: Opérations avec les fractions  
**Condition :** $y, z, w, k \neq 0$  
$$\frac{x}{y} = x \left( \frac{1}{y} \right)$$  
$$\left( \frac{x}{y} \right) \left( \frac{w}{k} \right) = \frac{xw}{yk}$$  
$$\frac{xy}{wx} = \frac{y}{w}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{z}{y} = \frac{x + z}{y}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{w}{z} = \frac{xz + yw}{yz}$$  
$$\frac{x}{y} \div \frac{w}{z} = \frac{xz}{yw}$$  
$$x + \frac{y}{w} = \frac{xw + y}{w}$$

Remarques importantes

title: Restriction essentielle  
La division par zéro **n’est pas définie**. Tous les dénominateurs doivent être $\neq 0$.

Équivalences utiles

−ab=−ab=a−b-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

a+bc+xy=a+bcy+xy=a+bycy+x(cy+x≠0)a+\frac{b}{c+\dfrac{x}{y}}=a+\frac{b}{\dfrac{cy+x}{y}}=a+\frac{by}{cy+x} \quad (cy + x \neq 0)

Symboles mathématiques

Concept Symbole Concept Symbole Concept Symbole
plus + supérieur à >> il existe au moins un ∃\exists
moins - inférieur à << il existe un unique ∃!\exists!
multiplication ⋅\cdot supérieur ou égal à ≥\geq n’existe pas ∄\nexists
division ÷\div inférieur ou égal à ≤\leq donc →\rightarrow
égal = appartient à ∈\in si et seulement si ↔\leftrightarrow
différent ≠\neq n’appartient pas à ∉\notin négation ∼\sim
identique ≡\equiv inclus ou égal ⊆\subseteq conjonction « et » ∧\land
non identique ≢\not\equiv inclus strictement ⊂\subset disjonction « ou » ∨\lor
environ / approximativement ≈\approx non inclus ⊄\not\subset ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}
infini ∞\infty ensemble vide ∅\varnothing ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}
plus l’infini +∞+\infty intervalle ouvert (a,b)(a,b) (a,b)(a,b) ensemble des rationnels Q\mathbb{Q}
moins l’infini −∞-\infty intervalle fermé [a,b][a,b] [a,b][a,b] ensemble des irrationnels I\mathbb{I}
union ∪\cup intervalle semi-ouvert [a,b)[a,b) [a,b)[a,b) ensemble des réels R\mathbb{R}
intersection ∩\cap droite réelle (−∞,∞)(-\infty, \infty) ensemble des complexes C\mathbb{C}
donc ∴\therefore somme (sigma) ∑\sum factorielle n!n!
car / puisque ∵\because produit (pi) ∏\prod valeur absolue de xx ∣x∣\lvert x \rvert
parallèle ∥\parallel racine carrée \sqrt{} partie entière (inférieure ou égale à xx) ⌊x⌋\lfloor x \rfloor
non parallèle ∦\nparallel puissance aba^b pourcentage %\%
tel que ∣\mid pour tout ∀\forall multiple de xx x˙\dot{x}
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