Logarithmes

Logarithmes dans les réels

• Domaine de définition : $a \in (0, +\infty)$
• Image : $c \in \mathbb{R}$
• Restrictions :

  $$b > 0, \quad b \neq 1$$

{% jsxgraph {"fn": "log(x)/log(2)", "dy":[-2,10]} %}

$$f(x)=\log_2 x$$

Graphique de la fonction logarithme en base 2. Observez que la fonction est strictement croissante et qu'elle n'est définie que pour les nombres positifs.

Propriétés générales des logarithmes

Le logarithme de la base est égal à un

$$\boxed{\log_b b = 1}$$

Exemples:

• $\log_2 2 = 1$
• $\log_{10} 10 = 1$
• $\log_5 5 = 1$
• $\log_e e = 1$
• $\log_{100} 100 = 1$
• $\log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$

Le logarithme de 1 dans n'importe quelle base est zéro

$$\boxed{\log_b 1 = 0}$$

Exemples:

• $\log_2 1 = 0$
• $\log_{10} 1 = 0$
• $\log_5 1 = 0$
• $\log_e 1 = 0 \quad \text{(c'est-à-dire, } \ln 1 = 0)$
• $\log_{100} 1 = 0$
• $\log_{\sqrt{3}} 1 = 0$

Logarithme d'un produit dans la même base

$$\boxed{\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y}$$

Exemples:

• $\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$
• $\log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27$
• $\log_{10} (5 \cdot 2) = \log_{10} 5 + \log_{10} 2$
• $\ln (e \cdot e^2) = \ln e + \ln e^2$
• $\log_5 (25 \cdot 125) = \log_5 25 + \log_5 125$
• $\log_6 (6 \cdot 36) = \log_6 6 + \log_6 36$

Logarithme d'un quotient dans la même base

$$\boxed{\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y}$$

Exemples:

• $\log_2 \left(\frac{8}{2}\right) = \log_2 8 - \log_2 2$
• $\log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9$
• $\log_{10} \left(\frac{1000}{10}\right) = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10$
• $\ln \left(\frac{e^5}{e^2}\right) = \ln e^5 - \ln e^2$
• $\log_5 \left(\frac{125}{25}\right) = \log_5 125 - \log_5 25$
• $\log_6 \left(\frac{36}{6}\right) = \log_6 36 - \log_6 6$

Logarithme d'une puissance

$$\boxed{\log_b (x^n) = n \log_b x}$$

Exemples:

• $\log_2 (4^3) = 3 \log_2 4$
• $\log_3 (9^2) = 2 \log_3 9$
• $\log_{10} (100^4) = 4 \log_{10} 100$
• $\ln (e^7) = 7 \ln e$
• $\log_5 (25^3) = 3 \log_5 25$
• $\log_6 (6^5) = 5 \log_6 6$

Logarithme d'une racine

$$\boxed{\log_b \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_b x}$$

Exemples:

• $\log_2 \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3} \log_2 8$
• $\log_3 \sqrt{9} = \frac{1}{2} \log_3 9$
• $\log_{10} \sqrt[4]{10000} = \frac{1}{4} \log_{10} 10000$
• $\ln \sqrt[5]{e^{10}} = \frac{1}{5} \ln e^{10}$
• $\log_5 \sqrt[3]{125} = \frac{1}{3} \log_5 125$
• $\log_6 \sqrt{36} = \frac{1}{2} \log_6 36$

Logarithme avec base et argument exponentiels

$$\boxed{\log_{b^m} x^n = \frac{n}{m} \log_b x}$$

Exemples:

• $\log_{2^3} 8^2 = \frac{2}{3} \log_2 8$
• $\log_{10^2} 100^4 = \frac{4}{2} \log_{10} 100$
• $\log_{3^4} 9^2 = \frac{2}{4} \log_3 9$
• $\log_{e^5} e^7 = \frac{7}{5} \ln e$
• $\log_{5^2} 25^3 = \frac{3}{2} \log_5 25$
• $\log_{6^6} 6^3 = \frac{3}{6} \log_6 6$

Équivalence d'expressions logarithmiques

$$\boxed{\log_{b} x = \log_{b^n} x^n = \log_{\sqrt[m]{b}} \sqrt[m]{x}}$$

Règle de la chaîne

$$\boxed{\log_{b} y \cdot \log_{y} a \cdot \log_{a} x = \log_{b} x}$$

Exemples:

• $\log_{2} 4 \cdot \log_{4} 8 \cdot \log_{8} 16 = \log_{2} 16$
• $\log_{3} 9 \cdot \log_{9} 27 \cdot \log_{27} 3 = \log_{3} 3$
• $\log_{10} 100 \cdot \log_{100} 1000 \cdot \log_{1000} 10 = \log_{10} 10$
• $\log_{5} 25 \cdot \log_{25} 125 \cdot \log_{125} 625 = \log_{5} 625$
• $\ln 2 \cdot \log_{2} e \cdot \log_{e} 4 = \ln 4$
• $\log_{6} 36 \cdot \log_{36} 6 \cdot \log_{6} 216 = \log_{6} 216$

Produit unitaire

$$\boxed{\log_{b} x \cdot \log_{x} b = 1}$$

$$\log_{b} x = \frac{1}{\log_{x} b}$$

Changement de base

$$\boxed{\log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}}$$

$$(k > 0, k \neq 1)$$

Règle d'échange

$$\boxed{x^{\log_b y} = y^{\log_b x}}$$

Propriétés spéciales

$$\boxed{b^{\log_b x} = x}$$

Cologarithme

Défini comme le logarithme de l'inverse d'un nombre :

$$\boxed{\operatorname{colog}_b x = \log_b \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_b x}$$

$$x > 0, b > 0 \land b \neq 1$$

Exemples:

• $\operatorname{colog}_{10} 2 = \log_{10} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log_{10} 2 \approx -0.3010$
• $\operatorname{colog}_{2} 8 = \log_{2} \left(\frac{1}{8}\right) = -\log_{2} 8 = -3$
• $\operatorname{colog}_{e} 5 = \ln \left(\frac{1}{5}\right) = -\ln 5 \approx -1.6094$
• $\operatorname{colog}_{3} 9 = \log_{3} \left(\frac{1}{9}\right) = -\log_{3} 9 = -2$
• $\operatorname{colog}_{5} 25 = \log_{5} \left(\frac{1}{25}\right) = -\log_{5} 25 = -2$
• $\operatorname{colog}_{4} 16 = \log_{4} \left(\frac{1}{16}\right) = -\log_{4} 16 = -2$

Antilogarithme

C'est l'opération inverse du logarithme :

$$\boxed{\operatorname{antilog}_b x = b^x}$$

$$b > 0, b \neq 1 \land x \in \mathbb{R}$$

Exemples:

• $\operatorname{antilog}_{10} 2 = 10^2 = 100$
• $\operatorname{antilog}_{2} 3 = 2^3 = 8$
• $\operatorname{antilog}_{e} 1 = e^1 \approx 2.7183$
• $\operatorname{antilog}_{3} 4 = 3^4 = 81$
• $\operatorname{antilog}_{5} 0 = 5^0 = 1$
• $\operatorname{antilog}_{10} (-1) = 10^{-1} = 0.1$

$$\operatorname{antilog}_b (\log_{b}x) = x$$

$$\log_{b} (\operatorname{antilog}_b x) = x$$

Systèmes de logarithmes

1. Logarithme décimal (base 10) :

   $$\log_{10} x \equiv \log x ; \quad x > 0$$

2. Logarithme népérien (base $e$) :

   $$\log_e x = \ln x ; \quad x > 0$$

   $$\ln e = 1$$

Conversion de systèmes

$$\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{\log a}{\log b}$$

Pour convertir entre les bases $m$ et $n$ :

$$\log_b a = \frac{\log_{m} a}{\log_{m} b} = \frac{\log_{n} a}{\log_{n} b}$$

Équations logarithmiques

1. Équation de base :

   $$\log_b f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f(x) = b^c$$

2. Équation avec la même base :

   $$\log_b f(x) = \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) = g(x)$$

Inéquations avec logarithmes

Considérer la base :

1. Si $b > 1$ (fonction croissante) :

   $$\log_b f(x) > \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) > g(x) > 0$$

2. Si $0 < b < 1$ (fonction décroissante) :

   $$\log_b f(x) > \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad 0 < f(x) < g(x)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III