La Droite

Définition

Une droite est le lieu géométrique de tous les points du plan qui suivent une direction constante.

Angle d’inclinaison

L’angle d’inclinaison $\theta$ d’une droite est l’angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, à partir du demi-axe positif des $x$ jusqu’à la droite, tel que $0^\circ \leq \theta < 180^\circ$ .

$Angle d’inclinaison – equationzone.com$

Pente (coefficient directeur) d’une droite

La pente $m$ d’une droite est définie comme la tangente de son angle d’inclinaison :

\boxed{m = \tan \theta}

Remarques :
1. Si $\theta < 90^\circ$, alors $m > 0$ → la droite est **croissante**.  
![Pente positive – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918270/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/79152cb167099c92eaa01cef138017cb.png)
2. Si $\theta > 90^\circ$, alors $m < 0$ → la droite est **décroissante**.  
![Pente négative – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918322/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/58bbd0a27ccd5d0bd67def627936bfcb.png)
3. Si $\theta = 90^\circ$, alors $m$ **n’est pas définie** → la droite est **verticale**.

Formes de l’équation d’une droite

Forme point-pente

Étant donné un point $P_1(x_1, y_1)$ et une pente $m$ :

y - y_1 = m(x - x_1)

Forme point-pente – equationzone.com

Forme à deux points (forme cartésienne)

Étant donnés deux points distincts $P_1(x_1, y_1)$ et $P_2(x_2, y_2)$ , avec $x_1 \ne x_2$ :

y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)

Forme à deux points – equationzone.com

Forme réduite (pente et ordonnée à l’origine)

Étant donnée la pente $m$ et l’ordonnée à l’origine $b$ (point où la droite coupe l’axe des $y$ ) :

y = mx + b

où :

$m$ : pente (coefficient directeur)
$b$ : ordonnée à l’origine

Forme réduite – equationzone.com

Forme segmentaire (forme symétrique)

Si la droite coupe l’axe des $x$ en $(a, 0)$ et l’axe des $y$ en $(0, b)$ , avec $a \ne 0$ et $b \ne 0$ :

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

où :

$a$ : abscisse à l’origine
$b$ : ordonnée à l’origine

Forme segmentaire – equationzone.com

Forme générale de l’équation d’une droite

Toute droite peut s’écrire sous la forme :

\boxed{Ax + By + C = 0}

où $A, B, C \in \mathbb{R}$ , et non tous nuls.

Cas particuliers :
1. Si $A = 0$, $B \ne 0$, $C \ne 0$ :  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{C}{B}$ → **droite horizontale** (parallèle à l’axe des $x$).
2. Si $B = 0$, $A \ne 0$, $C \ne 0$ :  
   $\Rightarrow x = -\dfrac{C}{A}$ → **droite verticale** (parallèle à l’axe des $y$).
3. Si $A \ne 0$, $B \ne 0$ :  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$ → forme réduite, avec pente $m = -\dfrac{A}{B}$.

$Forme générale – equationzone.com$

Angle entre deux droites

Étant données deux droites de pentes $m_1$ et $m_2$ , l’angle aigu $\theta$ entre elles est donné par :

\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|

$Angle entre deux droites – equationzone.com$

title: Remarque :
Cette formule donne l’**angle aigu** entre les droites. Pour l’angle obtus, on utilise $180^\circ - \theta$.

Positions relatives de deux droites

Considérons les droites :

\begin{aligned} \mathscr{L}_1 &: A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ \mathscr{L}_2 &: A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{aligned}

Droites perpendiculaires

Deux droites sont perpendiculaires si leurs pentes vérifient $m_1 \cdot m_2 = -1$ . En termes de coefficients :

\boxed{A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0}

$Droites perpendiculaires – equationzone.com$

Droites parallèles

Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente :

m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}} \quad \text{(à condition que } A_2, B_2 \ne 0\text{)}

$Droites parallèles – equationzone.com$

title: Remarque :
Si, de plus, $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{A_1}{A_2}$, alors les droites sont **confondues**.

Droites confondues

Deux droites sont confondues si tous leurs coefficients sont proportionnels :

\boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}}

Droites sécantes (obliques)

Deux droites se coupent en exactement un point si elles ne sont pas parallèles :

\boxed{A_1 B_2 - A_2 B_1 \ne 0}

Forme normale de l’équation d’une droite

La forme normale d’une droite est :

x \cos \omega + y \sin \omega - p = 0

où :

$\omega$ : angle entre le vecteur normal et le demi-axe positif des $x$ ( $0^\circ \leq \omega < 360^\circ$ )
$p$ : distance perpendiculaire de l’origine à la droite (toujours $p \geq 0$ )

$Forme normale – equationzone.com$

Passage de la forme générale à la forme normale

À partir de $Ax + By + C = 0$ , on divise par $\sqrt{A^2 + B^2}$ , en choisissant le signe opposé à celui de $C$ pour garantir $p \geq 0$ :

\frac{A}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}x + \frac{B}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}y + \frac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} = 0

Le signe est choisi de sorte que $\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \leq 0$ , ce qui assure que $p = -\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \geq 0$ .

Applications de la forme normale

Distance d’un point à une droite (distance absolue)

Étant donné un point $P_1(x_1, y_1)$ et une droite $Ax + By + C = 0$ , la distance perpendiculaire (toujours positive ou nulle) est :

d(P_1, \mathscr{L}) = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Distance point-droite – equationzone.com

Distance algébrique d’un point à une droite

La distance algébrique $d$ possède un signe qui dépend de l’orientation du vecteur normal $(A, B)$ :

d = \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Distance algébrique – equationzone.com

title: Important  
Le dénominateur est toujours positif. Le signe de $d$ dépend du numérateur et indique la position du point par rapport au **vecteur normal** $(A, B)$ :
- Si $d > 0$ : le point se trouve dans la direction du vecteur normal.
- Si $d < 0$ : le point se trouve dans la direction opposée.

Cas particuliers :

Droite ne passant pas par l’origine ( $C \ne 0$ ) :
- $d > 0$ si $P_1$ et l’origine sont de côtés opposés de la droite.
- $d < 0$ s’ils sont du même côté.
Droite passant par l’origine ( $C = 0$ ) :
- $d > 0$ si $P_1$ est « au-dessus » de la droite (dans la direction de $(A, B)$ ).
- $d < 0$ s’il est « en dessous ».

title: Remarque :  
Le signe de la distance algébrique est déterminé **uniquement par le numérateur**. **Ne pas** inclure $\pm$ au dénominateur : la convention moderne fixe le dénominateur comme **positif**.

Bissectrices de l’angle formé par deux droites sécantes

Étant données deux droites $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ et $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ , les bissectrices sont le lieu des points équidistants des deux droites :

\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

En supprimant les valeurs absolues, on obtient les deux bissectrices :

\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

- Utiliser le signe **+** pour la bissectrice de l’angle contenant la direction de la somme des vecteurs normaux unitaires (souvent l’angle **aigu**).  
- Utiliser le signe **–** pour la bissectrice de l’angle **obtus**.

$Bissectrices – equationzone.com$

Distance entre deux droites parallèles

Étant données deux droites parallèles $\mathscr{L}_1: Ax + By + C_1 = 0$ et $\mathscr{L}_2: Ax + By + C_2 = 0$ (mêmes coefficients $A$ et $B$ ), la distance entre elles est :

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Distance entre droites parallèles – equationzone.com

title: Remarque :  
Ces formules supposent que les deux équations utilisent **les mêmes coefficients** $A$ et $B$.

Aire d’un triangle

Étant donnés trois sommets $P_1(x_1, y_1)$ , $P_2(x_2, y_2)$ , $P_3(x_3, y_3)$ , l’aire du triangle est :

\text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|

ou, à l’aide d’un déterminant :

\text{Aire} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|

Aire d’un triangle – equationzone.com

Forme déterminantielle de la droite passant par deux points

Étant donnés $P_1(x_1, y_1)$ et $P_2(x_2, y_2)$ , l’équation de la droite est :

\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0

Familles de droites

Famille de droites parallèles à une droite donnée

Étant donnée la droite $Ax + By + C = 0$ , la famille des droites parallèles est :

Ax + By + k = 0 \quad \text{pour } k \in \mathbb{R}

$Famille de droites parallèles – equationzone.com$

Famille de droites perpendiculaires à une droite donnée

Si une droite donnée a pour pente $m$ , toutes les droites perpendiculaires ont pour pente $-\dfrac{1}{m}$ . Si elles passent par un point fixe $(x_0, y_0)$ :

y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)

En forme générale : si la droite initiale est $Ax + By + C = 0$, alors toutes les droites perpendiculaires sont de la forme $Bx - Ay + k = 0$.

$Famille de droites perpendiculaires – equationzone.com$

Famille de droites concourantes en un point

Étant données deux droites sécantes $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ et $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ , la famille de toutes les droites passant par leur point d’intersection est :

A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0 \quad \text{pour } \lambda \in \mathbb{R}

title: Remarque :  
La valeur $\lambda = -1$ peut correspondre à une droite à l’infini ou à un cas dégénéré, selon le contexte.

$Famille de droites concourantes – equationzone.com$