Le Cercle

Définition

Un cercle est le lieu géométrique de tous les points du plan situés à égale distance d’un point fixe appelé centre. Cette distance constante entre le centre et n’importe quel point du cercle est appelée rayon.

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Éléments du cercle

![Éléments du cercle](https://res.cloudinary.com/dze1acg2c/image/upload/v1766501620/equationzone/sa9eg8jjqzul5sszd3co.png)
- **Centre** ($C$) : le point fixe intérieur à partir duquel tous les points du cercle sont à égale distance.
- **Rayon** ($r = CU$) : la distance du centre à n’importe quel point du cercle.
- **Diamètre** ($d$) : une corde passant par le centre. Il vérifie $d = 2r$.
- **Corde** ($\overline{MN}$) : un segment reliant deux points quelconques du cercle.
- **Arc** : une portion de la circonférence comprise entre deux points.
- **Tangente** : une droite qui coupe le cercle en **exactement un point**.
- **Sécante** : une droite qui coupe le cercle en **deux points distincts**.

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Équations du cercle

1. Forme canonique (centre en $(h, k)$)

$$\boxed{\mathscr{C}:(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2}$$

C’est l’équation d’un cercle de centre $(h, k)$ et de rayon $r > 0$.

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2. Forme centrée à l’origine

$$\boxed{\mathscr{C}: x^2 + y^2 = r^2}$$

Cas particuliers :

• Si $r = 1$ : $x^2 + y^2 = 1$ → le cercle unité.
• Si $r = 0$ : $x^2 + y^2 = 0$ → représente uniquement le point $(0, 0)$.

Cercle tangent aux axes de coordonnées

• Tangent à l’axe des $x$ :
  Centre en $(h, k)$, rayon $r = |k|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$$

  

• Tangent à l’axe des $y$ :
  Centre en $(h, k)$, rayon $r = |h|$ →

  $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = h^2$$

  

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3. Équations paramétriques

Soient le centre $C = (x_0, y_0)$ et le rayon $r$. Tout point $M$ du cercle s’écrit :

$$\begin{cases} x = x_0 + r \cos \theta \\ y = y_0 + r \sin \theta \end{cases} \quad \text{avec } \theta \in [0, 2\pi)$$

où $\theta$ est l’angle mesuré à partir de l’axe des $x$ positif.

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4. Équation polaire

• Cercle général (centre en $(\rho_0, \varphi_0)$, rayon $r$) :

$$\rho^2 - 2\rho\rho_0\cos(\varphi - \varphi_0) + \rho_0^2 = r^2$$

title: Remarque :
Certains ouvrages utilisent un signe plus, mais la forme ci-dessus est conforme à la loi des cosinus et est préférée pour la cohérence.

• Cas particulier : Cercle passant par le pôle avec centre sur l’axe polaire ($\varphi = 0$) :

$$\boxed{\rho = 2r \cos \varphi}$$

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5. Forme générale de l’équation

$$\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0}$$

• Centre : $\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)$
• Rayon : $r = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F}$

title: Condition pour un cercle réel
$$\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F > 0$$
- Si l’expression est nulle, l’équation représente un **cercle ponctuel**.
- Si elle est négative, elle représente un **cercle imaginaire** (aucun point réel).

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Détermination d’un cercle

Trois conditions indépendantes sont nécessaires pour déterminer de façon unique un cercle. Les cas courants incluent :

• Trois points non alignés.
• Centre et rayon.
• Centre et un point du cercle.
• Deux points et la tangente en l’un d’eux.
• Un point et deux tangentes.

On substitue les conditions données dans la forme canonique ou générale et on résout le système d’équations obtenu.

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Faisceaux de cercles

Soient deux cercles :

$$\begin{aligned} \mathscr{C}_1 &: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 \\ \mathscr{C}_2 &: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 \end{aligned}$$

Le faisceau de tous les cercles passant par leurs points d’intersection est donné par :

$$\mathscr{C}_1 + \lambda \mathscr{C}_2 = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R},\ \lambda \ne -1)$$

Équivalemment :

$$x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0$$

title: Remarque :
L’équation $\mathscr{C}_1 - \mathscr{C}_2 = 0$ donne l’**axe radical** — la droite constituée de tous les points ayant même puissance par rapport aux deux cercles.

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Droites tangentes à un cercle

1. Tangente en un point $P(x_1, y_1)$ du cercle

• Cercle centré à l’origine ($x^2 + y^2 = r^2$) :

$$x x_1 + y y_1 = r^2$$

• Cercle de centre $(h, k)$ :

$$(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2$$

2. Condition de tangence pour une droite

Soit une droite $Ax + By + C = 0$ et un cercle de centre $(h, k)$ et de rayon $r$. La droite est tangente si et seulement si la distance perpendiculaire du centre à la droite est égale au rayon :

$$\frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r$$

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Transformations de coordonnées

1. Translation des axes

Si les axes sont translatés de sorte que la nouvelle origine soit en $(h, k)$, les coordonnées sont liées par :

$$\begin{cases} x = x' + h \\ y = y' + k \end{cases} \quad \text{ou inversement} \quad \begin{cases} x' = x - h \\ y' = y - k \end{cases}$$

Cette transformation élimine les termes linéaires dans l’équation générale, la ramenant à la forme centrée.

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2. Rotation des axes

En tournant les axes d’un angle $\theta$, les coordonnées anciennes $(x, y)$ et nouvelles $(x', y')$ sont liées par :

$$\begin{cases} x = x' \cos\theta - y' \sin\theta \\ y = x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{cases}$$

3. Élimination du terme $xy$ dans les coniques

Pour une équation quadratique générale

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$$

le terme mixte $xy$ est éliminé en tournant les axes d’un angle $\theta$ satisfaisant :

$$\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} \quad \text{(si } A \ne C\text{)}$$

Si $A = C$, alors $\theta = 45^\circ$.

title: Remarque :
Bien que le **cercle ne contienne jamais de terme $xy$** (en raison de sa symétrie de rotation), cette méthode est essentielle pour étudier les autres coniques et est incluse ici par souci de complétude dans le cadre des transformations de coordonnées.

Practice Problems

Level I

Level II

Level III