平面图形的面积

平面图形的面积

三角形

• 通用公式（底和高）：

  $$A = \frac{b \cdot h}{2}$$

• 海伦公式（边长）：

  $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

  其中 $s = \frac{a + b + c}{2}$ 为半周长。

锐角三角形

已知两边（$a$, $b$）和底边 $c$：

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{a^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c} \right)^2}$$

钝角三角形

已知两边（$a$, $b$）和底边 $c$：

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{b^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{2c} \right)^2}$$

等边三角形

• 已知边长 $a$ 和高 $h$：

  $$A = \frac{a \cdot h}{2}$$

  $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

• 用边长 $a$ 表示：

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• 用高 $h$ 表示：

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$

• 用外接圆直径 $d$ 表示：

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{16} d^2$$

• 用内切圆半径 $r$ 表示：

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2$$

正方形

• 用边长 $l$ 表示：

  $$A = l^2$$

  $$l = \sqrt{A}$$

• 用对角线 $d$ 表示：

  $$d = l \cdot \sqrt{2}$$

  $$A = \frac{d^2}{2}$$

• 用内切圆半径 $r$ 表示：

  $$A = (2r)^2 = 4r^2$$

矩形

$$A = b \cdot h$$

$$d = \sqrt{b^2 + h^2}$$

（其中 $d$ 为对角线，$b$ 为底边，$h$ 为高）

平行四边形

• 面积：

  $$A = b \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

• 对角线：

  $$d_1 = \sqrt{(a + h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

  $$d_2 = \sqrt{(a - h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

梯形

• 面积：

  $$A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h = m \cdot h$$

  （其中 $B$ 和 $b$ 为上下底，$h$ 为高，$m$ 为中位线）

• 中位线：

  $$m = \frac{B + b}{2}$$

不规则四边形

可将其分割为三角形计算：

$$A = \frac{a(H+h)+d \cdot h + e \cdot H}{2}$$

正五边形

• 用外接圆半径 $R$ 表示：

  $$A = \frac{5}{8} R^2 \cdot \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$$

  $$A = \frac{5}{2}R^2 \cdot \sin 72^\circ$$

• 用边长 $a$ 表示：

  $$A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} \cdot a^2$$

• 用边心距 $a_{p}$ 表示：

  $$A = 5a_{p}^2 \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$$

  其中边心距为：

  $$a_{p}= \frac{a}{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

正六边形

• 用边长 $a$ 表示：

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

• 用对边距离 $h$ 表示：

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{2} h^2$$

• 用长对角线 $d$ 表示：

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} d^2$$

• 重要关系：
  边长 $a$ 等于外接圆半径 $R$：$a = R$。
  对边距离为：$h = \sqrt{3} \cdot a$。
  长对角线为：$d = 2a$。

正八边形

• 用边长 $a$ 和边心距 $a_{p}$ 表示：

  $$A = \frac{P \cdot a_{p}}{2} = 4 \cdot a \cdot a_{p}$$

• 周长：

  $$P = 8a$$

• 边心距：

  $$a_{p} = \frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\pi}{8}$$

• 常用近似公式：

  $$A = \frac{8a^2}{4\tan \frac{\pi}{8}} \approx 4.828 \cdot a^2$$

  $$A \approx 0.828 \cdot s^2$$

  （其中 $s$ 为平行边之间的宽度）

不规则多边形

将其分割为三角形并求和：

$$A_{\text{总}} = A_1 + A_2 + A_3 + \dots$$

$$A_{\text{总}} = \frac{a h_1 + b h_2 + b h_3 \dots}{2}$$

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圆形及圆形部分的面积

圆

• 用直径 $d$ 表示：

  $$A = \frac{\pi}{4} d^2$$

• 用半径 $r$ 表示：

  $$A = \pi r^2$$

四分之一圆与凹三角形

• 四分之一圆的面积：

  $$A = \frac{\pi}{16} d^2$$

  $$A = \frac{\pi}{4} r^2$$

• 凹三角形的面积：

  $$A' = \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) r^2$$

（其中 $r$ 为半径，$d$ 为直径）

扇形

• 面积（角度制 $\alpha^\circ$）：

  $$A = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ}$$

• 面积（弧度制 $\theta$）：

  $$A = \frac{\theta}{2} r^2$$

• 弧长 $L$：

  $$L = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} = \theta \cdot r$$

弓形

此为由弦及其所对弧围成的区域。可通过从扇形面积中减去由半径和弦组成的等腰三角形面积得到。

$$A = \frac{r^2}{2} (\theta - \sin \theta)$$

（其中 $\theta$ 为弧度）

圆环

• 用直径表示：

  $$A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)$$

• 用半径表示：

  $$A = \pi (R^2 - r^2)$$

（其中 $R$ 和 $r$ 分别为外半径和内半径，$D$ 和 $d$ 分别为外直径和内直径）

扇环

• 面积（角度制 $\alpha^\circ$）：

  $$A = \frac{\pi \cdot \alpha^\circ}{4 \cdot 360^\circ} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\pi \alpha^\circ}{360^\circ} (R^2 - r^2)$$

• 面积（弧度制 $\theta$）：

  $$A = \frac{\theta}{8} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\theta}{2} (R^2 - r^2)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III