对数

实数中的对数

• 定义域：$a \in (0, +\infty)$
• 值域：$c \in \mathbb{R}$
• 限制条件：

  $$b > 0, \quad b \neq 1$$

{% jsxgraph {"fn": "log(x)/log(2)", "dy":[-2,10]} %}

$$f(x)=\log_2 x$$

以2为底的对数函数图像。注意该函数是严格递增的，并且仅对正数有定义。

对数的一般性质

底数的对数等于一

$$\boxed{\log_b b = 1}$$

例子：

• $\log_2 2 = 1$
• $\log_{10} 10 = 1$
• $\log_5 5 = 1$
• $\log_e e = 1$
• $\log_{100} 100 = 1$
• $\log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$

1的对数在任何底数下都为零

$$\boxed{\log_b 1 = 0}$$

例子：

• $\log_2 1 = 0$
• $\log_{10} 1 = 0$
• $\log_5 1 = 0$
• $\log_e 1 = 0 \quad \text{(即 } \ln 1 = 0)$
• $\log_{100} 1 = 0$
• $\log_{\sqrt{3}} 1 = 0$

同底数下乘积的对数

$$\boxed{\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y}$$

例子：

• $\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$
• $\log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27$
• $\log_{10} (5 \cdot 2) = \log_{10} 5 + \log_{10} 2$
• $\ln (e \cdot e^2) = \ln e + \ln e^2$
• $\log_5 (25 \cdot 125) = \log_5 25 + \log_5 125$
• $\log_6 (6 \cdot 36) = \log_6 6 + \log_6 36$

同底数下商的对数

$$\boxed{\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y}$$

例子：

• $\log_2 \left(\frac{8}{2}\right) = \log_2 8 - \log_2 2$
• $\log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9$
• $\log_{10} \left(\frac{1000}{10}\right) = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10$
• $\ln \left(\frac{e^5}{e^2}\right) = \ln e^5 - \ln e^2$
• $\log_5 \left(\frac{125}{25}\right) = \log_5 125 - \log_5 25$
• $\log_6 \left(\frac{36}{6}\right) = \log_6 36 - \log_6 6$

幂的对数

$$\boxed{\log_b (x^n) = n \log_b x}$$

例子：

• $\log_2 (4^3) = 3 \log_2 4$
• $\log_3 (9^2) = 2 \log_3 9$
• $\log_{10} (100^4) = 4 \log_{10} 100$
• $\ln (e^7) = 7 \ln e$
• $\log_5 (25^3) = 3 \log_5 25$
• $\log_6 (6^5) = 5 \log_6 6$

根的对数

$$\boxed{\log_b \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_b x}$$

例子：

• $\log_2 \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3} \log_2 8$
• $\log_3 \sqrt{9} = \frac{1}{2} \log_3 9$
• $\log_{10} \sqrt[4]{10000} = \frac{1}{4} \log_{10} 10000$
• $\ln \sqrt[5]{e^{10}} = \frac{1}{5} \ln e^{10}$
• $\log_5 \sqrt[3]{125} = \frac{1}{3} \log_5 125$
• $\log_6 \sqrt{36} = \frac{1}{2} \log_6 36$

底数和真数均为幂的对数

$$\boxed{\log_{b^m} x^n = \frac{n}{m} \log_b x}$$

例子：

• $\log_{2^3} 8^2 = \frac{2}{3} \log_2 8$
• $\log_{10^2} 100^4 = \frac{4}{2} \log_{10} 100$
• $\log_{3^4} 9^2 = \frac{2}{4} \log_3 9$
• $\log_{e^5} e^7 = \frac{7}{5} \ln e$
• $\log_{5^2} 25^3 = \frac{3}{2} \log_5 25$
• $\log_{6^6} 6^3 = \frac{3}{6} \log_6 6$

对数表达式的等价性

$$\boxed{\log_{b} x = \log_{b^n} x^n = \log_{\sqrt[m]{b}} \sqrt[m]{x}}$$

链式法则

$$\boxed{\log_{b} y \cdot \log_{y} a \cdot \log_{a} x = \log_{b} x}$$

例子：

• $\log_{2} 4 \cdot \log_{4} 8 \cdot \log_{8} 16 = \log_{2} 16$
• $\log_{3} 9 \cdot \log_{9} 27 \cdot \log_{27} 3 = \log_{3} 3$
• $\log_{10} 100 \cdot \log_{100} 1000 \cdot \log_{1000} 10 = \log_{10} 10$
• $\log_{5} 25 \cdot \log_{25} 125 \cdot \log_{125} 625 = \log_{5} 625$
• $\ln 2 \cdot \log_{2} e \cdot \log_{e} 4 = \ln 4$
• $\log_{6} 36 \cdot \log_{36} 6 \cdot \log_{6} 216 = \log_{6} 216$

单位积

$$\boxed{\log_{b} x \cdot \log_{x} b = 1}$$

$$\log_{b} x = \frac{1}{\log_{x} b}$$

换底公式

$$\boxed{\log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}}$$

$$(k > 0, k \neq 1)$$

交换法则

$$\boxed{x^{\log_b y} = y^{\log_b x}}$$

特殊性质

$$\boxed{b^{\log_b x} = x}$$

余对数

定义为一个数的倒数的对数：

$$\boxed{\operatorname{colog}_b x = \log_b \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_b x}$$

$$x > 0, b > 0 \land b \neq 1$$

例子：

• $\operatorname{colog}_{10} 2 = \log_{10} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log_{10} 2 \approx -0.3010$
• $\operatorname{colog}_{2} 8 = \log_{2} \left(\frac{1}{8}\right) = -\log_{2} 8 = -3$
• $\operatorname{colog}_{e} 5 = \ln \left(\frac{1}{5}\right) = -\ln 5 \approx -1.6094$
• $\operatorname{colog}_{3} 9 = \log_{3} \left(\frac{1}{9}\right) = -\log_{3} 9 = -2$
• $\operatorname{colog}_{5} 25 = \log_{5} \left(\frac{1}{25}\right) = -\log_{5} 25 = -2$
• $\operatorname{colog}_{4} 16 = \log_{4} \left(\frac{1}{16}\right) = -\log_{4} 16 = -2$

反对数

这是对数的逆运算：

$$\boxed{\operatorname{antilog}_b x = b^x}$$

$$b > 0, b \neq 1 \land x \in \mathbb{R}$$

例子：

• $\operatorname{antilog}_{10} 2 = 10^2 = 100$
• $\operatorname{antilog}_{2} 3 = 2^3 = 8$
• $\operatorname{antilog}_{e} 1 = e^1 \approx 2.7183$
• $\operatorname{antilog}_{3} 4 = 3^4 = 81$
• $\operatorname{antilog}_{5} 0 = 5^0 = 1$
• $\operatorname{antilog}_{10} (-1) = 10^{-1} = 0.1$

$$\operatorname{antilog}_b (\log_{b}x) = x$$

$$\log_{b} (\operatorname{antilog}_b x) = x$$

对数系统

1. 常用对数（底数10）：

   $$\log_{10} x \equiv \log x ; \quad x > 0$$

2. 自然对数（底数 $e$）：

   $$\log_e x = \ln x ; \quad x > 0$$

   $$\ln e = 1$$

系统转换

$$\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{\log a}{\log b}$$

在底数 $m$ 和 $n$ 之间转换：

$$\log_b a = \frac{\log_{m} a}{\log_{m} b} = \frac{\log_{n} a}{\log_{n} b}$$

对数方程

1. 基本方程：

   $$\log_b f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f(x) = b^c$$

2. 同底数方程：

   $$\log_b f(x) = \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) = g(x)$$

对数不等式

考虑底数：

1. 如果 $b > 1$（增函数）：

   $$\log_b f(x) > \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) > g(x) > 0$$

2. 如果 $0 < b < 1$（减函数）：

   $$\log_b f(x) > \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad 0 < f(x) < g(x)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III