预备知识

加法与减法

分配律

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

乘法

符号法则

(+)⋅(+)=(+)(+)\cdot(+) = (+)

(−)⋅(+)=(−)(-)\cdot(+) = (-)

(+)⋅(−)=(−)(+)\cdot(-) = (-)

(−)⋅(−)=(+)(-)\cdot(-) = (+)

结合律

a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c 

title: 幂的性质  
$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$  
$$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$$  
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$  
$$(a^{\alpha} \cdot b^{\beta})^n = a^{\alpha n} \cdot b^{\beta n}$$

重要恒等式

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

除法

符号法则

(+)(+)=(+)\frac{(+)}{(+)} = (+)

(−)(+)=(−)\frac{(-)}{(+)} = (-)

(+)(−)=(−)\frac{(+)}{(-)} = (-)

(−)(−)=(+)\frac{(-)}{(-)} = (+) 

title: 幂的性质  
$$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a^\alpha}{b^\beta} \right)^n = \frac{a^{\alpha n}}{b^{\beta n}} \quad (b \neq 0)$$

基本定理

负指数（倒数）

a−n=1an（其中 a≠0）a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{（其中 } a \neq 0\text{）}

当 n>0n > 0 时，0−n0^{-n} 无定义。

除法对加法的分配律

a+bc=ac+bc(c≠0)\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \quad (c \neq 0) 

title: 分数运算  
**条件：** $y, z, w, k \neq 0$  
$$\frac{x}{y} = x \left( \frac{1}{y} \right)$$  
$$\left( \frac{x}{y} \right) \left( \frac{w}{k} \right) = \frac{xw}{yk}$$  
$$\frac{xy}{wx} = \frac{y}{w}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{z}{y} = \frac{x + z}{y}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{w}{z} = \frac{xz + yw}{yz}$$  
$$\frac{x}{y} \div \frac{w}{z} = \frac{xz}{yw}$$  
$$x + \frac{y}{w} = \frac{xw + y}{w}$$

重要说明

title: 关键限制  
**除以零无定义**。所有分母必须满足 $\neq 0$。

常用等价形式

−ab=−ab=a−b-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

a+bc+xy=a+bcy+xy=a+bycy+x(cy+x≠0)a+\frac{b}{c+\dfrac{x}{y}}=a+\frac{b}{\dfrac{cy+x}{y}}=a+\frac{by}{cy+x} \quad (cy + x \neq 0)

数学符号表

概念 符号 概念 符号 概念 符号
加 + 大于 >> 至少存在一个 ∃\exists
减 - 小于 << 恰好存在一个 ∃!\exists!
乘 ⋅\cdot 大于或等于 ≥\geq 不存在 ∄\nexists
除 ÷\div 小于或等于 ≤\leq 因此 →\rightarrow
等于 = 属于 ∈\in 当且仅当 ↔\leftrightarrow
不等于 ≠\neq 不属于 ∉\notin 否定 ∼\sim
恒等于 ≡\equiv 子集或相等 ⊆\subseteq 逻辑与（“且”） ∧\land
不恒等于 ≢\not\equiv 真子集 ⊂\subset 逻辑或（“或”） ∨\lor
约等于 ≈\approx 非子集 ⊄\not\subset 自然数集 N\mathbb{N}
无穷大 ∞\infty 空集 ∅\varnothing 整数集 Z\mathbb{Z}
正无穷 +∞+\infty 开区间 (a,b)(a,b) (a,b)(a,b) 有理数集 Q\mathbb{Q}
负无穷 −∞-\infty 闭区间 [a,b][a,b] [a,b][a,b] 无理数集 I\mathbb{I}
并集 ∪\cup 半开区间 [a,b)[a,b) [a,b)[a,b) 实数集 R\mathbb{R}
交集 ∩\cap 实数轴 (−∞,∞)(-\infty, \infty) 复数集 C\mathbb{C}
所以 ∴\therefore 求和（Σ） ∑\sum 阶乘 n!n!
因为 ∵\because 求积（Π） ∏\prod xx 的绝对值 ∣x∣\lvert x \rvert
平行 ∥\parallel 平方根 \sqrt{} 下取整（不大于 xx 的最大整数） ⌊x⌋\lfloor x \rfloor
不平行 ∦\nparallel 幂 aba^b 百分比 %\%
使得 ∣\mid 任意（对所有） ∀\forall xx 的倍数 x˙\dot{x}
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