直线

定义

直线是平面上沿固定方向延伸的所有点的集合。

倾斜角

一条直线的倾斜角 $\theta$ 是从 $x$ 轴正向逆时针旋转到该直线所形成的角，满足 $0^\circ \leq \theta < 180^\circ$ 。

$倾斜角 – equationzone.com$

直线的斜率

直线的斜率 $m$ 定义为其倾斜角的正切值：

\boxed{m = \tan \theta}

说明：
1. 若 $\theta < 90^\circ$，则 $m > 0$ → 直线**上升**。  
![正斜率 – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918270/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/79152cb167099c92eaa01cef138017cb.png)
2. 若 $\theta > 90^\circ$，则 $m < 0$ → 直线**下降**。  
![负斜率 – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918322/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/58bbd0a27ccd5d0bd67def627936bfcb.png)
3. 若 $\theta = 90^\circ$，则 $m$ **无定义** → 直线为**垂直线**。

直线方程的形式

点斜式

给定点 $P_1(x_1, y_1)$ 和斜率 $m$ ：

y - y_1 = m(x - x_1)

点斜式 – equationzone.com

两点式（笛卡尔形式）

给定两个不同点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ ，且 $x_1 \ne x_2$ ：

y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)

两点式 – equationzone.com

斜截式

给定斜率 $m$ 和 $y$ 轴截距 $b$ （直线与 $y$ 轴的交点）：

y = mx + b

其中：

$m$ ：斜率
$b$ ： $y$ 轴截距

斜截式 – equationzone.com

截距式（对称式）

若直线与 $x$ 轴交于 $(a, 0)$ ，与 $y$ 轴交于 $(0, b)$ ，且 $a \ne 0$ 、 $b \ne 0$ ：

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

其中：

$a$ ： $x$ 轴截距
$b$ ： $y$ 轴截距

截距式 – equationzone.com

直线的一般式方程

任意直线均可写为：

\boxed{Ax + By + C = 0}

其中 $A, B, C \in \mathbb{R}$ ，且不全为零。

特殊情况：
1. 若 $A = 0$，$B \ne 0$，$C \ne 0$：  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{C}{B}$ → **水平线**（平行于 $x$ 轴）。
2. 若 $B = 0$，$A \ne 0$，$C \ne 0$：  
   $\Rightarrow x = -\dfrac{C}{A}$ → **垂直线**（平行于 $y$ 轴）。
3. 若 $A \ne 0$，$B \ne 0$：  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$ → 斜截式，斜率 $m = -\dfrac{A}{B}$。

$一般式 – equationzone.com$

两直线的夹角

设两条直线的斜率分别为 $m_1$ 和 $m_2$ ，它们之间的锐角 $\theta$ 满足：

\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|

$两直线夹角 – equationzone.com$

title: 注：
此公式给出的是两直线之间的**锐角**。若需求钝角，则用 $180^\circ - \theta$。

两直线的相对位置

考虑两条直线：

\begin{aligned} \mathscr{L}_1 &: A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ \mathscr{L}_2 &: A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{aligned}

垂直直线

当且仅当斜率满足 $m_1 \cdot m_2 = -1$ 时，两直线垂直。用系数表示为：

\boxed{A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0}

$垂直直线 – equationzone.com$

平行直线

两直线平行当且仅当斜率相等：

m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}} \quad \text{（前提是 } A_2, B_2 \ne 0\text{）}

$平行直线 – equationzone.com$

title: 注：
若同时满足 $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{A_1}{A_2}$，则两直线**重合**。

重合直线

两直线重合当且仅当所有系数成比例：

\boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}}

相交直线（斜交）

若两直线不平行，则它们恰有一个交点，条件为：

\boxed{A_1 B_2 - A_2 B_1 \ne 0}

直线的法线式（正规式）

直线的法线式为：

x \cos \omega + y \sin \omega - p = 0

其中：

$\omega$ ：法向量与 $x$ 轴正向的夹角（ $0^\circ \leq \omega < 360^\circ$ ）
$p$ ：原点到直线的垂直距离（恒有 $p \geq 0$ ）

$法线式 – equationzone.com$

一般式化为法线式

对一般式 $Ax + By + C = 0$ ，两边同除以 $\sqrt{A^2 + B^2}$ ，并取与 $C$ 相反的符号，以确保 $p \geq 0$ ：

\frac{A}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}x + \frac{B}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}y + \frac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} = 0

符号的选择应使 $\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \leq 0$ ，从而保证 $p = -\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \geq 0$ 。

法线式的应用

点到直线的距离（绝对距离）

给定点 $P_1(x_1, y_1)$ 与直线 $Ax + By + C = 0$ ，其（恒为非负的）垂直距离为：

d(P_1, \mathscr{L}) = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

点到直线的距离 – equationzone.com

点到直线的有向距离

有向距离 $d$ 带有符号，取决于法向量 $(A, B)$ 的方向：

d = \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

有向距离 – equationzone.com

title: 重要  
分母恒为正。$d$ 的符号由分子决定，反映点相对于**法向量** $(A, B)$ 的位置：
- 若 $d > 0$：点位于法向量所指的一侧；
- 若 $d < 0$：点位于相反一侧。

特殊情况：

直线不经过原点（ $C \ne 0$ ）：
- $d > 0$ 当且仅当 $P_1$ 与原点在直线的异侧；
- $d < 0$ 当且仅当它们在同侧。
直线经过原点（ $C = 0$ ）：
- $d > 0$ 表示 $P_1$ 在直线“上方”（沿 $(A, B)$ 方向）；
- $d < 0$ 表示在“下方”。

title: 注：  
有向距离的符号**仅由分子决定**。分母**不可**加 $\pm$ —— 现代惯例规定分母恒取**正值**。

两相交直线的角平分线

设两直线为 $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ 和 $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ ，则它们的角平分线是到两直线距离相等的点的轨迹：

\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

去掉绝对值后，得到两条角平分线：

\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

- 取 **+** 号对应包含单位法向量和方向的角（通常为**锐角**）的平分线；  
- 取 **–** 号对应**钝角**的平分线。

$角平分线 – equationzone.com$

两平行直线间的距离

设两平行直线为 $\mathscr{L}_1: Ax + By + C_1 = 0$ 和 $\mathscr{L}_2: Ax + By + C_2 = 0$ （ $A$ 、 $B$ 相同），则它们之间的距离为：

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

平行直线间距离 – equationzone.com

title: 注：  
此公式要求两条直线的 $A$ 和 $B$ **完全相同**。

三角形的面积

给定三个顶点 $P_1(x_1, y_1)$ 、 $P_2(x_2, y_2)$ 、 $P_3(x_3, y_3)$ ，三角形的面积为：

\text{面积} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|

或用行列式表示为：

\text{面积} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|

三角形面积 – equationzone.com

过两点的直线的行列式形式

给定两点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ ，直线方程可表示为：

\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0

直线系（直线族）

与已知直线平行的直线系

给定直线 $Ax + By + C = 0$ ，所有与之平行的直线构成的直线系为：

Ax + By + k = 0 \quad \text{（} k \in \mathbb{R} \text{）}

$平行直线系 – equationzone.com$

与已知直线垂直的直线系

若已知直线斜率为 $m$ ，则所有与之垂直的直线斜率为 $-\dfrac{1}{m}$ 。若它们过定点 $(x_0, y_0)$ ，则方程为：

y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)

一般形式：若原直线为 $Ax + By + C = 0$，则所有与之垂直的直线可表示为 $Bx - Ay + k = 0$。

$垂直直线系 – equationzone.com$

过定点的共点直线系

设两相交直线为 $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ 和 $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ ，则所有过其交点的直线构成的直线系为：

A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0 \quad \text{（} \lambda \in \mathbb{R} \text{）}

title: 注：  
当 $\lambda = -1$ 时，可能对应无穷远直线或退化情形，具体取决于上下文。

$共点直线系 – equationzone.com$