基本概念

笛卡尔平面

笛卡尔平面

  • 直角坐标系：xx 轴（横轴，表示横坐标）和 yy 轴（纵轴，表示纵坐标）
  • 原点：点 (0,0)(0,0)

象限

象限

  • 四个象限，按逆时针方向编号为 I 至 IV
  • 符号规律：
    • 第 I 象限：(+,+)(+,+)
    • 第 II 象限：(−,+)(-,+)
    • 第 III 象限：(−,−)(-,-)
    • 第 IV 象限：(+,−)(+,-)

点

  • 表示方法：P(x,y)P(x,y)
    点
  • 特殊点：
    • 原点：O(0,0)O(0,0)
    • 在 xx 轴上：(a,0)(a,0)
    • 在 yy 轴上：(0,b)(0,b)

两点间距离

对于点 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1) 和 P2(x2,y2)P_2(x_2,y_2)：
两点间距离

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

极坐标下两点间距离

给定两个极坐标点：

  • P1(r1,θ1)P_1(r_1, \theta_1)
  • P2(r2,θ2)P_2(r_2, \theta_2)
    极坐标下两点间距离

它们之间的距离 dd 为：

d=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ2−θ1)d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)}

中点

点 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1) 与 P2(x2,y2)P_2(x_2,y_2) 的中点 MM：
中点

M(x1+x22,y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)

线段的定比分点

线段的定比分点

点 PP 将线段 P1P2P_1P_2 分成比例 P1PPP2=mn=λ\dfrac{P_1P}{PP_2} = \dfrac{m}{n} = \lambda，则其坐标为：

x=nx1+mx2n+m=x1+λx21+λ,y=ny1+my2n+m=y1+λy21+λx = \frac{nx_1 + mx_2}{n + m} = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{ny_1 + my_2}{n + m} = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}

P(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ)P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)

三角形的重心坐标

三角形的重心

x=x1+x2+x33x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}

y=y1+y2+y33y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}

三角形的面积

三角形的面积

已知顶点为 (x1,y1)(x_1, y_1)、(x2,y2)(x_2, y_2) 和 (x3,y3)(x_3, y_3)，则面积为：

面积=12∣∣x1y11x2y21x3y31∣∣\text{面积} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|

该行列式可展开为：

∣x1y11x2y21x3y31∣=x1(y2−y3)−y1(x2−x3)+(x2y3−x3y2)\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} = x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + (x_2 y_3 - x_3 y_2)

实际计算中常简化为：

面积=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\text{面积} = \frac{1}{2} \big| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \big| 

title: 示例  
设顶点为 $P_1(2, 4)$、$P_2(5, 6)$、$P_3(3, 1)$：  
1. **构造矩阵**：  
  $$ \begin{vmatrix}
   2 & 4 & 1 \\
   5 & 6 & 1 \\
   3 & 1 & 1 \\
   \end{vmatrix} $$

2. **计算行列式**（使用萨吕法则）：  
$$= 2(6 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 4(5 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + 1(5 \cdot 1 - 3 \cdot 6)$$  
$$= 2(6 - 1) - 4(5 - 3) + 1(5 - 18)$$  
$$= 2(5) - 4(2) + 1(-13) = 10 - 8 - 13 = -11$$  
3. **取绝对值并除以 2**：  
$$\text{面积} = \frac{1}{2} |-11| = 5.5 \text{ 平方单位}$$

多边形的面积

多边形的面积

通用公式（鞋带公式，Shoelace Formula）

对于顶点 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)$：  
$$
\text{面积} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i y_{i+1} \right) - \sum_{i=1}^{n} \left( y_i x_{i+1} \right) \right|
$$  
其中：  
- $x_{n+1} = x_1$ 且 $y_{n+1} = y_1$（闭合多边形）  
- 顶点必须按**顺时针或逆时针顺序**排列（无交叉）

应用步骤：

  1. 顶点有序列表：按顺序写出坐标（例如：P1→P2→P3→⋯→P1P_1 \to P_2 \to P_3 \to \dots \to P_1）
  2. 求和 1（Σ1\Sigma_1）：将每个 xix_i 乘以下一个顶点的 yi+1y_{i+1}，再求和
  3. 求和 2（Σ2\Sigma_2）：将每个 yiy_i 乘以下一个顶点的 xi+1x_{i+1}，再求和
  4. 相减并取绝对值：计算 ∣Σ1−Σ2∣|\Sigma_1 - \Sigma_2|，再除以 2
title: 示例  
顶点按顺序为：$P_{1}(2, 4)$、$P_{2}(5, 6)$、$P_{3}(3, 1)$、$P_{4}(1, 2)$。  
1. **闭合多边形（末尾重复 $P_1$）**：  
$$(2,4), (5,6), (3,1), (1,2), (2,4)$$  
2. **计算 $\Sigma_1$（向下对角线 ➘）**：  
$(2 \times 6) + (5 \times 1) + (3 \times 2) + (1 \times 4) = 12 + 5 + 6 + 4 = 27$  
3. **计算 $\Sigma_2$（向上对角线 ➚）**：  
$(4 \times 5) + (6 \times 3) + (1 \times 1) + (2 \times 2) = 20 + 18 + 1 + 4 = 43$  
4. **面积**：  
$$\text{面积} = \frac{1}{2} |27 - 43| = \frac{16}{2} = 8 \text{ 平方单位}$$
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