圆

定义

圆 是平面上到一个固定点（称为圆心）距离相等的所有点的集合。该固定距离称为半径。

圆的要素

![圆的要素](https://res.cloudinary.com/dze1acg2c/image/upload/v1766501620/equationzone/sa9eg8jjqzul5sszd3co.png)
- **圆心**（$C$）：固定内点，圆上所有点到该点距离相等。
- **半径**（$r = CU$）：从圆心到圆上任意一点的距离。
- **直径**（$d$）：经过圆心的弦，满足 $d = 2r$。
- **弦**（$\overline{MN}$）：连接圆上任意两点的线段。
- **弧**：圆周上两点之间的部分。
- **切线**：与圆**恰好有一个交点**的直线。
- **割线**：与圆**有两个不同交点**的直线。

圆的方程

1. 标准形式（圆心在 (h,k)(h, k)）

标准形式（圆心在 ）

C:(x−h)2+(y−k)2=r2\boxed{\mathscr{C}:(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2}

这是以 (h,k)(h, k) 为圆心、r>0r > 0 为半径的圆的方程。

2. 中心在原点的特例（标准形式）

中心在原点的特例

C:x2+y2=r2\boxed{\mathscr{C}: x^2 + y^2 = r^2}

特殊情况：

  • 若 r=1r = 1：x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 → 单位圆。
  • 若 r=0r = 0：x2+y2=0x^2 + y^2 = 0 → 仅表示点 (0,0)(0, 0)。

与坐标轴相切的圆

  • 与 xx 轴相切：
    圆心为 (h,k)(h, k)，半径 r=∣k∣r = |k| →

    (x−h)2+(y−k)2=k2(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2

    与 x 轴相切的圆

  • 与 yy 轴相切：
    圆心为 (h,k)(h, k)，半径 r=∣h∣r = |h| →

    (x−h)2+(y−k)2=h2(x - h)^2 + (y - k)^2 = h^2

    与 y 轴相切的圆

3. 参数方程

给定圆心 C=(x0,y0)C = (x_0, y_0) 和半径 rr，圆上任意点 MM 可表示为：

参数方程

{x=x0+rcos⁡θy=y0+rsin⁡θ其中 θ∈[0,2π)\begin{cases} x = x_0 + r \cos \theta \\ y = y_0 + r \sin \theta \end{cases} \quad \text{其中 } \theta \in [0, 2\pi)

其中 θ\theta 是从正 xx 轴起始测量的角度。

4. 极坐标方程

  • 一般圆（圆心在 (ρ0,φ0)(\rho_0, \varphi_0)，半径为 rr）：

极坐标方程

ρ2−2ρρ0cos⁡(φ−φ0)+ρ02=r2\rho^2 - 2\rho\rho_0\cos(\varphi - \varphi_0) + \rho_0^2 = r^2 

title: 注：
部分教材使用加号形式，但上述形式与余弦定理一致，为保持一致性更推荐使用。
  • 特例：过极点且圆心在极轴上（φ=0\varphi = 0）的圆：

极坐标方程 – 特例

ρ=2rcos⁡φ\boxed{\rho = 2r \cos \varphi}

5. 一般式方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0}

  • 圆心：(−D2, −E2)\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)
  • 半径：r=(D2)2+(E2)2−Fr = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F}
title: 实圆的条件
$$\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F > 0$$
- 若等于零，则方程表示一个**点圆**。
- 若小于零，则表示一个**虚圆**（无实点）。

圆的确定

要唯一确定一个圆，需要三个独立条件。常见情形包括：

  • 三个不共线的点。
  • 圆心和半径。
  • 圆心和圆上一点。
  • 两点及其中一点处的切线。
  • 一点及两条切线。

将已知条件代入标准式或一般式，解所得方程组即可。

圆系（圆族）

给定两个圆：

C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0\begin{aligned} \mathscr{C}_1 &: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 \\ \mathscr{C}_2 &: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 \end{aligned}

所有经过它们交点的圆构成的圆系为：

C1+λC2=0(λ∈R, λ≠−1)\mathscr{C}_1 + \lambda \mathscr{C}_2 = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R},\ \lambda \ne -1)

等价地：

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0

圆系

title: 注：
方程 $\mathscr{C}_1 - \mathscr{C}_2 = 0$ 给出**根轴**——即到两圆幂相等的所有点构成的直线。

圆的切线

1. 圆上点 P(x1,y1)P(x_1, y_1) 处的切线

  • 圆心在原点（x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2）：

xx1+yy1=r2x x_1 + y y_1 = r^2

  • 圆心在 (h,k)(h, k)：

(x−h)(x1−h)+(y−k)(y1−k)=r2(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2

2. 直线与圆相切的条件

给定直线 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 和圆心为 (h,k)(h, k)、半径为 rr 的圆，该直线为切线当且仅当圆心到直线的垂直距离等于半径：

∣Ah+Bk+C∣A2+B2=r\frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r

坐标变换

1. 坐标轴平移

若将坐标轴平移，使新原点位于 (h,k)(h, k)，则新旧坐标关系为：

{x=x′+hy=y′+k或反解为{x′=x−hy′=y−k\begin{cases} x = x' + h \\ y = y' + k \end{cases} \quad \text{或反解为} \quad \begin{cases} x' = x - h \\ y' = y - k \end{cases}

坐标轴平移

此变换可消去一般方程中的线性项，将其化为标准形式。

2. 坐标轴旋转

将坐标轴绕原点旋转角度 θ\theta，新旧坐标 (x,y)(x, y) 与 (x′,y′)(x', y') 的关系为：

{x=x′cos⁡θ−y′sin⁡θy=x′sin⁡θ+y′cos⁡θ\begin{cases} x = x' \cos\theta - y' \sin\theta \\ y = x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{cases}

坐标轴旋转

3. 消除圆锥曲线中的 xyxy 项

对于一般二次方程

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,

通过旋转坐标轴可消去混合项 xyxy，旋转角 θ\theta 满足：

tan⁡(2θ)=BA−C（若 A≠C）\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} \quad \text{（若 } A \ne C\text{）}

若 A=CA = C，则 θ=45∘\theta = 45^\circ。

title: 注：
尽管**圆从不包含 $xy$ 项**（因其旋转对称性），但该方法对分析其他圆锥曲线至关重要，此处为完整起见，在坐标变换的背景下予以说明。
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