平面図形の面積

平面図形の面積

三角形

• 一般公式（底辺と高さ）：

  $$A = \frac{b \cdot h}{2}$$

• ヘロンの公式（三辺）：

  $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

  ここで、$s = \frac{a + b + c}{2}$ は半周長です。

鋭角三角形

二辺（$a$, $b$）と底辺 $c$ が既知の場合：

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{a^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c} \right)^2}$$

鈍角三角形

二辺（$a$, $b$）と底辺 $c$ が既知の場合：

$$A = \frac{c}{2} \sqrt{b^2 - \left( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{2c} \right)^2}$$

正三角形

• 辺長 $a$ と高さ $h$ から：

  $$A = \frac{a \cdot h}{2}$$

  $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

• 辺長 $a$ による表現：

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• 高さ $h$ による表現：

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{3} h^2$$

• 外接円の直径 $d$ による表現：

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{16} d^2$$

• 内接円の半径 $r$ による表現：

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} r^2$$

正方形

• 一辺の長さ $l$ による表現：

  $$A = l^2$$

  $$l = \sqrt{A}$$

• 対角線 $d$ による表現：

  $$d = l \cdot \sqrt{2}$$

  $$A = \frac{d^2}{2}$$

• 内接円の半径 $r$ による表現：

  $$A = (2r)^2 = 4r^2$$

長方形

$$A = b \cdot h$$

$$d = \sqrt{b^2 + h^2}$$

（ここで $d$ は対角線、$b$ は底辺、$h$ は高さ）

平行四辺形

• 面積：

  $$A = b \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

• 対角線：

  $$d_1 = \sqrt{(a + h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

  $$d_2 = \sqrt{(a - h \cot \alpha)^2 + h^2}$$

台形

• 面積：

  $$A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h = m \cdot h$$

  （ここで $B$ と $b$ は上底と下底、$h$ は高さ、$m$ は中点連結）

• 中点連結（中央線）：

  $$m = \frac{B + b}{2}$$

不規則な四角形

三角形に分割して計算できます：

$$A = \frac{a(H+h)+d \cdot h + e \cdot H}{2}$$

正五角形

• 外接円の半径 $R$ による表現：

  $$A = \frac{5}{8} R^2 \cdot \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$$

  $$A = \frac{5}{2}R^2 \cdot \sin 72^\circ$$

• 辺長 $a$ による表現：

  $$A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} \cdot a^2$$

• 辺心距離（アポセム） $a_{p}$ による表現：

  $$A = 5a_{p}^2 \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$$

  ここで**辺心距離（アポセム）**は：

  $$a_{p}= \frac{a}{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

正六角形

• 辺長 $a$ による表現：

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

• 平行な辺の間の高さ $h$ による表現：

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{2} h^2$$

• 最長対角線 $d$ による表現：

  $$A = \frac{3\sqrt{3}}{4} d^2$$

• 重要な関係：
  辺長 $a$ は外接円の半径 $R$ に等しい：$a = R$。
  平行な辺の間の高さは：$h = \sqrt{3} \cdot a$。
  最長対角線は：$d = 2a$。

正八角形

• 辺長 $a$ と辺心距離（アポセム） $a_{p}$ による表現：

  $$A = \frac{P \cdot a_{p}}{2} = 4 \cdot a \cdot a_{p}$$

• 周長：

  $$P = 8a$$

• 辺心距離（アポセム）：

  $$a_{p} = \frac{a}{2} \cdot \cot \frac{\pi}{8}$$

• 一般的な近似公式：

  $$A = \frac{8a^2}{4\tan \frac{\pi}{8}} \approx 4.828 \cdot a^2$$

  $$A \approx 0.828 \cdot s^2$$

  （ここで $s$ は平行な辺の間の幅）

不規則な多角形

三角形に分割してその面積を合計します：

$$A_{\text{合計}} = A_1 + A_2 + A_3 + \dots$$

$$A_{\text{合計}} = \frac{a h_1 + b h_2 + b h_3 \dots}{2}$$

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円および円の一部の面積

円

• 直径 $d$ による表現：

  $$A = \frac{\pi}{4} d^2$$

• 半径 $r$ による表現：

  $$A = \pi r^2$$

四分円と凹三角形

• 四分円の面積：

  $$A = \frac{\pi}{16} d^2$$

  $$A = \frac{\pi}{4} r^2$$

• 凹三角形の面積：

  $$A' = \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) r^2$$

（ここで $r$ は半径、$d$ は直径）

扇形

• 面積（度数法 $\alpha^\circ$）：

  $$A = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ}$$

• 面積（弧度法 $\theta$）：

  $$A = \frac{\theta}{2} r^2$$

• 弧長 $L$：

  $$L = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} = \theta \cdot r$$

弓形

弦とその弧との間の領域です。扇形の面積から、半径と弦によって形成される二等辺三角形の面積を引くことによって計算されます。

$$A = \frac{r^2}{2} (\theta - \sin \theta)$$

（ここで $\theta$ はラジアン）

環形（リング）

• 直径による表現：

  $$A = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)$$

• 半径による表現：

  $$A = \pi (R^2 - r^2)$$

（ここで $R$ と $r$ は外半径と内半径、$D$ と $d$ は外直径と内直径）

環形の一部（扇環）

• 面積（度数法 $\alpha^\circ$）：

  $$A = \frac{\pi \cdot \alpha^\circ}{4 \cdot 360^\circ} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\pi \alpha^\circ}{360^\circ} (R^2 - r^2)$$

• 面積（弧度法 $\theta$）：

  $$A = \frac{\theta}{8} (D^2 - d^2)$$

  $$A = \frac{\theta}{2} (R^2 - r^2)$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III