予備知識

加法と減法

分配法則

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

乗法

符号の規則

(+)⋅(+)=(+)(+)\cdot(+) = (+)

(−)⋅(+)=(−)(-)\cdot(+) = (-)

(+)⋅(−)=(−)(+)\cdot(-) = (-)

(−)⋅(−)=(+)(-)\cdot(-) = (+)

結合法則

a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c 

title: 指数の性質  
$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$  
$$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$$  
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$  
$$(a^{\alpha} \cdot b^{\beta})^n = a^{\alpha n} \cdot b^{\beta n}$$

重要な恒等式

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

除法

符号の規則

(+)(+)=(+)\frac{(+)}{(+)} = (+)

(−)(+)=(−)\frac{(-)}{(+)} = (-)

(+)(−)=(−)\frac{(+)}{(-)} = (-)

(−)(−)=(+)\frac{(-)}{(-)} = (+) 

title: 指数の性質  
$$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$  
$$\left( \frac{a^\alpha}{b^\beta} \right)^n = \frac{a^{\alpha n}}{b^{\beta n}} \quad (b \neq 0)$$

基本定理

負の指数（逆数）

a−n=1an（ただし a≠0）a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{（ただし } a \neq 0\text{）}

n>0n > 0 のとき、0−n0^{-n} は定義されません。

除法に関する分配法則

a+bc=ac+bc(c≠0)\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \quad (c \neq 0) 

title: 分数の計算  
**条件：** $y, z, w, k \neq 0$  
$$\frac{x}{y} = x \left( \frac{1}{y} \right)$$  
$$\left( \frac{x}{y} \right) \left( \frac{w}{k} \right) = \frac{xw}{yk}$$  
$$\frac{xy}{wx} = \frac{y}{w}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{z}{y} = \frac{x + z}{y}$$  
$$\frac{x}{y} + \frac{w}{z} = \frac{xz + yw}{yz}$$  
$$\frac{x}{y} \div \frac{w}{z} = \frac{xz}{yw}$$  
$$x + \frac{y}{w} = \frac{xw + y}{w}$$

重要な注意点

title: 基本的な制約  
**ゼロでの除算は定義されません**。すべての分母は $\neq 0$ でなければなりません。

役立つ同値表現

−ab=−ab=a−b-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

a+bc+xy=a+bcy+xy=a+bycy+x(cy+x≠0)a+\frac{b}{c+\dfrac{x}{y}}=a+\frac{b}{\dfrac{cy+x}{y}}=a+\frac{by}{cy+x} \quad (cy + x \neq 0)

数学記号一覧

概念 記号 概念 記号 概念 記号
プラス（加） + より大きい >> 少なくとも1つ存在する ∃\exists
マイナス（減） - より小さい << ただ1つ存在する ∃!\exists!
乗算 ⋅\cdot 以上 ≥\geq 存在しない ∄\nexists
除算 ÷\div 以下 ≤\leq よって／したがって →\rightarrow
等しい = 〜に属する ∈\in 〜のときかつそのときに限り ↔\leftrightarrow
等しくない ≠\neq 〜に属さない ∉\notin 否定 ∼\sim
恒等的に等しい ≡\equiv 部分集合または等しい ⊆\subseteq 論理積（「かつ」） ∧\land
恒等的には等しくない ≢\not\equiv 真部分集合 ⊂\subset 論理和（「または」） ∨\lor
近似 ≈\approx 部分集合でない ⊄\not\subset 自然数全体 N\mathbb{N}
無限大 ∞\infty 空集合 ∅\varnothing 整数全体 Z\mathbb{Z}
正の無限大 +∞+\infty 開区間 (a,b)(a,b) (a,b)(a,b) 有理数全体 Q\mathbb{Q}
負の無限大 −∞-\infty 閉区間 [a,b][a,b] [a,b][a,b] 無理数全体 I\mathbb{I}
和集合 ∪\cup 半開区間 [a,b)[a,b) [a,b)[a,b) 実数全体 R\mathbb{R}
積集合 ∩\cap 実数直線 (−∞,∞)(-\infty, \infty) 複素数全体 C\mathbb{C}
よって ∴\therefore 総和（シグマ） ∑\sum 階乗 n!n!
なぜなら／〜なので ∵\because 総乗（パイ） ∏\prod xx の絶対値 ∣x∣\lvert x \rvert
平行 ∥\parallel 平方根 \sqrt{} 床関数（xx 以下の最大整数） ⌊x⌋\lfloor x \rfloor
平行でない ∦\nparallel 冪（べき） aba^b パーセント %\%
〜such that（〜を満たす） ∣\mid 任意の／すべての ∀\forall xx の倍数 x˙\dot{x}
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