対数（ロガリズム）

定義

concept

正の実数 $a$ の $b$ を底とする対数とは、 $a$ を得るために底 $b$ を累乗する指数 $c$ のことです。

\log_b a = c \quad \Longleftrightarrow \quad b^c = a

ここで、

$a > 0$ は対数の真数、
$b > 0$ 、 $b \neq 1$ は底、
$c \in \mathbb{R}$ は対数または指数です。

実数における対数

定義域: $a \in (0, +\infty)$
値域: $c \in \mathbb{R}$
制限: $b > 0, \quad b \neq 1$

{% jsxgraph {"fn": "log(x)/log(2)", "dy":[-2,10]} %}

f(x)=\log_2 x

底2の対数関数のグラフ。この関数は厳密に単調増加であり、正の数に対してのみ定義されていることに注意してください。

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覚えておこう

実数における対数は、正の真数に対してのみ定義されます。
例えば、

\log_2(-4)

は、 $2^x = -4$ を満たす実数 $x$ が存在しないため、定義されません。
正の底の実数乗は常に正です。
したがって、

\log_2(-4)\ \text{は } \mathbb{R} \text{ で定義されません}。

対数の一般的な性質

底の対数は1

\boxed{\log_b b = 1}

例:

$\log_2 2 = 1$
$\log_{10} 10 = 1$
$\log_5 5 = 1$
$\log_e e = 1$
$\log_{100} 100 = 1$
$\log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$

1の対数は底に依らず0

\boxed{\log_b 1 = 0}

例:

$\log_2 1 = 0$
$\log_{10} 1 = 0$
$\log_5 1 = 0$
$\log_e 1 = 0 \quad \text{(すなわち } \ln 1 = 0)$
$\log_{100} 1 = 0$
$\log_{\sqrt{3}} 1 = 0$

同じ底での積の対数

\boxed{\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y}

例:

$\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$
$\log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27$
$\log_{10} (5 \cdot 2) = \log_{10} 5 + \log_{10} 2$
$\ln (e \cdot e^2) = \ln e + \ln e^2$
$\log_5 (25 \cdot 125) = \log_5 25 + \log_5 125$
$\log_6 (6 \cdot 36) = \log_6 6 + \log_6 36$

注意

\log_b (x+y) \not = \log_b x + \log_b y

同じ底での商の対数

\boxed{\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y}

例:

$\log_2 \left(\frac{8}{2}\right) = \log_2 8 - \log_2 2$
$\log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9$
$\log_{10} \left(\frac{1000}{10}\right) = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10$
$\ln \left(\frac{e^5}{e^2}\right) = \ln e^5 - \ln e^2$
$\log_5 \left(\frac{125}{25}\right) = \log_5 125 - \log_5 25$
$\log_6 \left(\frac{36}{6}\right) = \log_6 36 - \log_6 6$

べき乗の対数

\boxed{\log_b (x^n) = n \log_b x}

例:

$\log_2 (4^3) = 3 \log_2 4$
$\log_3 (9^2) = 2 \log_3 9$
$\log_{10} (100^4) = 4 \log_{10} 100$
$\ln (e^7) = 7 \ln e$
$\log_5 (25^3) = 3 \log_5 25$
$\log_6 (6^5) = 5 \log_6 6$

注記

\log^n_b x=(\log_b x)^n \not = \log_b x^n

根の対数

\boxed{\log_b \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_b x}

例:

$\log_2 \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3} \log_2 8$
$\log_3 \sqrt{9} = \frac{1}{2} \log_3 9$
$\log_{10} \sqrt[4]{10000} = \frac{1}{4} \log_{10} 10000$
$\ln \sqrt[5]{e^{10}} = \frac{1}{5} \ln e^{10}$
$\log_5 \sqrt[3]{125} = \frac{1}{3} \log_5 125$
$\log_6 \sqrt{36} = \frac{1}{2} \log_6 36$

底と真数が指数を持つ対数

\boxed{\log_{b^m} x^n = \frac{n}{m} \log_b x}

例:

$\log_{2^3} 8^2 = \frac{2}{3} \log_2 8$
$\log_{10^2} 100^4 = \frac{4}{2} \log_{10} 100$
$\log_{3^4} 9^2 = \frac{2}{4} \log_3 9$
$\log_{e^5} e^7 = \frac{7}{5} \ln e$
$\log_{5^2} 25^3 = \frac{3}{2} \log_5 25$
$\log_{6^6} 6^3 = \frac{3}{6} \log_6 6$

対数表現の同値性

\boxed{\log_{b} x = \log_{b^n} x^n = \log_{\sqrt[m]{b}} \sqrt[m]{x}}

連鎖律

\boxed{\log_{b} y \cdot \log_{y} a \cdot \log_{a} x = \log_{b} x}

例:

$\log_{2} 4 \cdot \log_{4} 8 \cdot \log_{8} 16 = \log_{2} 16$
$\log_{3} 9 \cdot \log_{9} 27 \cdot \log_{27} 3 = \log_{3} 3$
$\log_{10} 100 \cdot \log_{100} 1000 \cdot \log_{1000} 10 = \log_{10} 10$
$\log_{5} 25 \cdot \log_{25} 125 \cdot \log_{125} 625 = \log_{5} 625$
$\ln 2 \cdot \log_{2} e \cdot \log_{e} 4 = \ln 4$
$\log_{6} 36 \cdot \log_{36} 6 \cdot \log_{6} 216 = \log_{6} 216$

単位積

\boxed{\log_{b} x \cdot \log_{x} b = 1}

\log_{b} x = \frac{1}{\log_{x} b}

底の変換

\boxed{\log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}}

(k > 0, k \neq 1)

交換則

\boxed{x^{\log_b y} = y^{\log_b x}}

特殊な性質

\boxed{b^{\log_b x} = x}

余対数

ある数の逆数の対数として定義されます。

\boxed{\operatorname{colog}_b x = \log_b \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_b x}

x > 0, b > 0 \land b \neq 1

例:

$\operatorname{colog}_{10} 2 = \log_{10} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log_{10} 2 \approx -0.3010$
$\operatorname{colog}_{2} 8 = \log_{2} \left(\frac{1}{8}\right) = -\log_{2} 8 = -3$
$\operatorname{colog}_{e} 5 = \ln \left(\frac{1}{5}\right) = -\ln 5 \approx -1.6094$
$\operatorname{colog}_{3} 9 = \log_{3} \left(\frac{1}{9}\right) = -\log_{3} 9 = -2$
$\operatorname{colog}_{5} 25 = \log_{5} \left(\frac{1}{25}\right) = -\log_{5} 25 = -2$
$\operatorname{colog}_{4} 16 = \log_{4} \left(\frac{1}{16}\right) = -\log_{4} 16 = -2$

真数

これは対数の逆演算です。

\boxed{\operatorname{antilog}_b x = b^x}

b > 0, b \neq 1 \land x \in \mathbb{R}

例:

$\operatorname{antilog}_{10} 2 = 10^2 = 100$
$\operatorname{antilog}_{2} 3 = 2^3 = 8$
$\operatorname{antilog}_{e} 1 = e^1 \approx 2.7183$
$\operatorname{antilog}_{3} 4 = 3^4 = 81$
$\operatorname{antilog}_{5} 0 = 5^0 = 1$
$\operatorname{antilog}_{10} (-1) = 10^{-1} = 0.1$

\operatorname{antilog}_b (\log_{b}x) = x

\log_{b} (\operatorname{antilog}_b x) = x

対数系

常用対数 (底10):
$\log_{10} x \equiv \log x ; \quad x > 0$
自然対数 (底 $e$ ):
$\log_e x = \ln x ; \quad x > 0$ $\ln e = 1$

系の変換

\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{\log a}{\log b}

底 $m$ と $n$ の間で変換するには：

\log_b a = \frac{\log_{m} a}{\log_{m} b} = \frac{\log_{n} a}{\log_{n} b}

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重要

• 常用対数

\log x = \log_{10} x

• 自然対数

\ln x = \log_e x

ここで $e$ はネイピア数です。

さらに

\ln 1 = 0

\ln e = 1

\ln(e^x) = x

対数方程式

基本方程式:
$\log_b f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f(x) = b^c$
同じ底を持つ方程式:
$\log_b f(x) = \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) = g(x)$

対数不等式

底を考慮する：

$b > 1$ の場合（増加関数）:
$\log_b f(x) > \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) > g(x) > 0$
$0 < b < 1$ の場合（減少関数）:
$\log_b f(x) > \log_b g(x) \quad \Rightarrow \quad 0 < f(x) < g(x)$