Newton's Binomial Theorem

Factorial de un número

:::notation[Notaciones]

• $n!$ (notación de Kramp)
• $\prod_{i=1}^{n} i$ (notación de Gauss)
• $\underline{|n}$ (notación inglesa, en desuso)
  :::

Propiedad fundamental

$$n! = n \cdot (n-1)!$$

Semifactorial de "n" (doble factorial)

Fórmulas cerradas

Para números pares ($n = 2m$):

$$\boxed{(2m)!! = 2^m \cdot m!}$$

Para números impares ($n = 2m+1$):

$$\boxed{(2m+1)!! = \frac{(2m+1)!}{2^m \cdot m!}}$$

Relación con factorial

$$(2n)!! \cdot (2n-1)!! = (2n)!$$

Ejemplos

• $6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48 = 2^3 \cdot 3! = 8 \cdot 6$
• $7!! = 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 105 = \frac{7!}{2^3 \cdot 3!} = \frac{5040}{48}$

Coeficiente binomial

Cálculo

Caso particular ($m, n \in \mathbb{N}$ y $m \geq n$):

$$\boxed{\binom{m}{n} = \frac{m!}{n!\,(m-n)!}}$$

Caso general ($m \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$):

$$\boxed{\binom{m}{n} = \frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)}{n!}}$$

Principales propiedades de los factoriales

Propiedades fundamentales

1. Propiedad recursiva (degradativa):

   $$\boxed{ n! = n \cdot (n-1)! }, \quad n \in \mathbb{N}$$

2. Relación entre factoriales consecutivos:

   $$(n+1)! = (n+1) \cdot n!$$

   $$(n-1)! = \frac{n!}{n}, \quad n \geq 1$$

Propiedades de igualdad

3. Inyectividad en $\mathbb{N}$:
   Si $a! = b! \Rightarrow a = b$, con $a, b \in \mathbb{N}$.

4. Caso particular:
   Si $a! = 1 \Rightarrow a = 0$ o $a = 1$.

Propiedades de sumas

5. Suma de términos con factoriales:

   $$\boxed{ \sum_{i=1}^{n} i \cdot i! = (n+1)! - 1 }, \quad n \in \mathbb{N}$$

Ejemplo:

$1\cdot1! + 2\cdot2! + 3\cdot3! = 1 + 4 + 18 = 23 = 4! - 1 = 24 - 1$

6. Suma de fracciones con factoriales:

   $$\boxed{ \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{(i+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} }, \quad n \in \mathbb{N}$$

Propiedades de descomposición

7. Descomposición en fracciones parciales:

   $$\boxed{ \frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} }, \quad n \in \mathbb{N}$$

8. Generalización:

   $$\frac{1}{(n+k)!} = \frac{1}{k! \cdot n!} \cdot \frac{1}{\binom{n+k}{k}}$$

Propiedades adicionales útiles

9. Factoriales dobles:

   $$(2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) = 2^n \cdot n!$$

   $$(2n-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}$$

10. Aproximación de Stirling (para $n$ grande):

    $$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

11. Relación con coeficientes binomiales:

    $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

12. Crecimiento comparado:

    $$n! \text{ crece más rápido que } a^n \text{ para cualquier } a > 1$$

Principales propiedades de los coeficientes binomiales

Propiedades básicas

1. Valores extremos:

   $$\binom{n}{0} = 1, \quad \binom{n}{n} = 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

2. Caso especial: $\binom{0}{0} = 1$

3. Coeficiente lineal:

   $$\binom{n}{1} = n, \quad \forall n \in \mathbb{R}$$

4. Caso $n < k$:
   Si $n, k \in \mathbb{N}$ y $n < k$, entonces $\binom{n}{k} = 0$

Propiedad de simetría (complementarios)

5. Para $n, k \in \mathbb{N}$ con $n \geq k$:

   $$\boxed{ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} }$$

Propiedad de Pascal (suma consecutiva)

6. Para $n \in \mathbb{R}$ y $k \in \mathbb{N}$:

   $$\boxed{ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} }$$

Propiedades adicionales útiles

7. Extracción de factores:

   $$\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}, \quad k \geq 1$$

8. Propiedad de absorción:

   $$k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$$

9. Suma de una fila completa:

   $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

10. Suma alternada:

    $$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0 \quad (n \geq 1)$$

11. Identidad de Vandermonde:

    $$\sum_{k=0}^{r} \binom{m}{k} \binom{n}{r-k} = \binom{m+n}{r}$$

12. Suma de cuadrados:

    $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$$

Binomio de Newton

Si $x$ e $y$ son números reales y $n$ es un entero positivo, se verifica:

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$

Término general

En el desarrollo de $(x+y)^n$, el término que ocupa la posición $k+1$ es:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$

donde $x, y \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$ y $0 \leq k \leq n$.

Término central

Posición del término central

• En $(x+y)^n$ hay $n+1$ términos
• Si $n$ es par: término único en posición $\frac{n}{2} + 1$
• Si $n$ es impar: dos términos en posiciones $\frac{n+1}{2}$ y $\frac{n+3}{2}$

Para exponente par ($n = 2m$)

$$\boxed{ T_{\text{central}} = \binom{2m}{m} x^m y^m }$$

Ejemplo:

$(x+y)^6 \Rightarrow T_4 = \binom{6}{3}x^3y^3 = 20x^3y^3$

Para exponente impar ($n = 2m+1$)

$$\boxed{ T_{\text{1er central}} = \binom{2m+1}{m} x^{m+1} y^m }$$

$$\boxed{ T_{\text{2do central}} = \binom{2m+1}{m+1} x^m y^{m+1} }$$

Ejemplo:

$(x+y)^7 \Rightarrow T_4 = \binom{7}{3}x^4y^3 = 35x^4y^3$ y $T_5 = \binom{7}{4}x^3y^4 = 35x^3y^4$

Coeficiente central máximo

$$\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \text{ es el coeficiente más grande}$$

Aproximación para $n$ grande (fórmula de Stirling)

$$\binom{2n}{n} \approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$$

Relación con término independiente

En $(x + x^{-1})^{2n}$: término central $= \binom{2n}{n}$ (término independiente)

Términos equidistantes en el desarrollo de $(x+y)^n$

Para $(x+y)^n$, el término $T_{k+1}$ (posición $k+1$) y el término equidistante desde el final $T'_{k+1}$ son:

$$\boxed{ T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k }$$

$$\boxed{ T'_{k+1} = \binom{n}{n-k} x^{k} y^{n-k} = \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k} }$$

Observación: En $T'_{k+1}$, los exponentes de $x$ e $y$ se intercambian respecto a $T_{k+1}$.

Caso particular cuando $x = y$

Si $x = y$, entonces los términos equidistantes son idénticos:

$$T_{k+1} = T'_{k+1} = \binom{n}{k} x^n$$

Ejemplo para $(x+y)^5$

Los términos equidistantes son:

• $T_1$ y $T_6$: $x^5$ y $y^5$
• $T_2$ y $T_5$: $5x^4y$ y $5xy^4$
• $T_3$ y $T_4$: $10x^3y^2$ y $10x^2y^3$

Notas adicionales

Suma de coeficientes

• En $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$,
  haciendo $x = y = 1$, se obtiene:

  $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

  Interpretación: La suma de todos los coeficientes binomiales de la fila $n$ del Triángulo de Pascal es $2^n$.

• En $(x-y)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$,
  haciendo $x = y = 1$, se obtiene:

  $$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0 \quad (n \geq 1)$$

  Interpretación: La suma alternada de los coeficientes binomiales es cero.

• Generalización: Para $(ax + by)^n$, la suma de coeficientes se obtiene haciendo $x = y = 1$:

  $$\sum \text{coeficientes} = (a + b)^n$$

Suma de exponentes en el desarrollo de $(x^\alpha + y^\beta)^n$

$$\sum \text{exponentes} = (\alpha + \beta) \cdot \frac{n(n+1)}{2}, \quad n \in \mathbb{N}$$

Número de términos del desarrollo

• Para $(x + y)^n$ (con $x$ e $y$ distintas): el desarrollo tiene $n+1$ términos.
• Para un trinomio $(x + y + z)^n$: el número de términos es $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ (coeficientes multinomiales).

Coeficiente máximo

• Si $n$ es par ($n = 2m$), el coeficiente máximo es $\binom{2m}{m}$.
• Si $n$ es impar ($n = 2m+1$), hay dos coeficientes máximos iguales: $\binom{2m+1}{m} = \binom{2m+1}{m+1}$.

Aplicación: Cálculo de una potencia aproximada

Para $(1+x)^n$ con $|x|$ pequeño, se usa la aproximación lineal:

$$(1+x)^n \approx 1 + nx \quad \text{(primeros dos términos)}$$

$$(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 \quad \text{(tres términos)}$$

Identidades útiles con coeficientes binomiales

1. Suma de coeficientes de índice par/ impar:

   $$\sum_{k \text{ par}} \binom{n}{k} = \sum_{k \text{ impar}} \binom{n}{k} = 2^{n-1} \quad (n \geq 1)$$

2. Identidad de Vandermonde:

   $$\sum_{k=0}^r \binom{m}{k} \binom{n}{r-k} = \binom{m+n}{r}$$

3. Suma de cuadrados de coeficientes:

   $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$$

:::cp[Challenging Problems]

1. En el siguiente binomio hallar $x$ para que el tercer término del desarrollo valga 240:

   $$\left(2\sqrt[3]{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}\right)^6$$

2. Halle el lugar y el término que contiene $x^{12}$ en el desarrollo del binomio:

   $$\left(x^4 - \frac{1}{x^3}\right)^{15}$$

3. Hallar el término y lugar, en el que las variables $x$, $y$ están elevadas a la misma potencia:

   $$\left( \sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} \right)^{21}$$

4. Halle el término decimotercero del desarrollo del siguiente binomio, sabiendo que el coeficiente binomial del tercer término es 105:

   $$\left(9x - \frac{1}{\sqrt{3}x}\right)^n$$

5. El coeficiente del tercer término del desarrollo de: $(x + x + x^{-4})^n$ excede al coeficiente del segundo término en 44. Hallar el término que no contiene $x$ y el término central.

6. La suma de los coeficientes combinatorios de los términos primero, segundo y tercero del desarrollo del siguiente binomio es igual a 46. Hallar el término que no contiene $x$:

   $$\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^n$$

7. La suma de los coeficientes numéricos términos primero, segundo y tercero del desarrollo del siguiente binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^n$ es igual a 45. Determine el término y el lugar que contiene $x^{10}$.

8. Si el término central del binomio $(x^3 + y^2)^{2n}$ es de la forma $p x^{21} y^q$. Se pide hallar el valor de $p + q$.

9. Hallar para qué valores de $x$, la suma de los términos tercero y el quinto en el desarrollo de:

   $$\left( \sqrt{2^x} + \frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}} \right)^m$$

   es igual a 135, sabiendo que la suma de los coeficientes binómicos de los tres últimos términos es igual a 22.

10. Determinar $m$ y $n$ en la potencia

    $$\left( \frac{x^m}{y^{n-5}} + \frac{y^n}{x} \right)^n$$

    de modo que admita un solo término central cuya parte literal sea $x^4 y^{15}$.

11. Hallar el término y lugar que ocupa, el que contiene a $x^{\frac{3}{2}}$ en el desarrollo de

    $$\left( \frac{1}{x^2} + \sqrt{x} \right)^n$$

    sabiendo que la suma de todos los coeficientes es 256.

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Practice Problems

Level I

Level II

Level III