直線

定義

直線（ちょくせん）とは、平面上で一定の方向に沿って延びるすべての点の集合です。

傾き角（傾斜角）

直線の傾き角 $\theta$ は、 $x$ 軸の正の向きから反時計回りにその直線まで測った角であり、 $0^\circ \leq \theta < 180^\circ$ を満たします。

$傾き角 – equationzone.com$

直線の傾き（勾配）

直線の傾き $m$ は、その傾き角の正接（タンジェント）として定義されます：

\boxed{m = \tan \theta}

観察：
1. $\theta < 90^\circ$ のとき、$m > 0$ → 直線は**右上がり**（増加）。  
![正の傾き – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918270/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/79152cb167099c92eaa01cef138017cb.png)
2. $\theta > 90^\circ$ のとき、$m < 0$ → 直線は**右下がり**（減少）。  
![負の傾き – equationzone.com](https://res.cloudinary.com/dno4gyfgn/image/upload/v1754918322/obsidian/math/analytic-geometry/straight-line/58bbd0a27ccd5d0bd67def627936bfcb.png)
3. $\theta = 90^\circ$ のとき、$m$ は**定義されない** → 直線は**垂直**。

直線の方程式の形

点・傾き形（点勾配形）

点 $P_1(x_1, y_1)$ と傾き $m$ が与えられたとき：

y - y_1 = m(x - x_1)

点・傾き形 – equationzone.com

2点形（直線の2点式）

異なる2点 $P_1(x_1, y_1)$ 、 $P_2(x_2, y_2)$ が与えられ、 $x_1 \ne x_2$ のとき：

y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)

2点形 – equationzone.com

傾き・切片形（標準形）

傾き $m$ と $y$ 切片 $b$ （直線が $y$ 軸と交わる点）が与えられたとき：

y = mx + b

ここで：

$m$ ：傾き（勾配）
$b$ ： $y$ 切片（ $y$ 軸上の交点の $y$ 座標）

傾き・切片形 – equationzone.com

切片形（対称形）

直線が $x$ 軸と $(a, 0)$ 、 $y$ 軸と $(0, b)$ で交わり、 $a \ne 0$ 、 $b \ne 0$ のとき：

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

ここで：

$a$ ： $x$ 切片
$b$ ： $y$ 切片

切片形 – equationzone.com

直線の方程式の一般形

任意の直線は次のように表せます：

\boxed{Ax + By + C = 0}

ここで $A, B, C \in \mathbb{R}$ であり、すべてがゼロになることはありません。

特殊な場合：
1. $A = 0$、$B \ne 0$、$C \ne 0$ のとき：  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{C}{B}$ → **水平線**（$x$ 軸に平行）。
2. $B = 0$、$A \ne 0$、$C \ne 0$ のとき：  
   $\Rightarrow x = -\dfrac{C}{A}$ → **垂直線**（$y$ 軸に平行）。
3. $A \ne 0$、$B \ne 0$ のとき：  
   $\Rightarrow y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$ → 傾き・切片形、傾きは $m = -\dfrac{A}{B}$。

$一般形 – equationzone.com$

2直線のなす角

傾きがそれぞれ $m_1$ 、 $m_2$ の2直線の鋭角 $\theta$ は、次式で与えられます：

\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|

$2直線のなす角 – equationzone.com$

title: 注：
この公式は2直線の**鋭角**を与えます。鈍角を求める場合は $180^\circ - \theta$ を用います。

2直線の位置関係

次の2直線を考えます：

\begin{aligned} \mathscr{L}_1 &: A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ \mathscr{L}_2 &: A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{aligned}

直交する直線（垂直）

2直線が垂直であるための条件は、傾きが $m_1 \cdot m_2 = -1$ を満たすこと。係数で表すと：

\boxed{A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0}

$垂直な直線 – equationzone.com$

平行な直線

2直線が平行であるための条件は、傾きが等しいこと：

m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}} \quad \text{（ただし } A_2, B_2 \ne 0\text{）}

$平行な直線 – equationzone.com$

title: 注：
さらに $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{A_1}{A_2}$ が成り立つ場合、2直線は**一致**（同一）します。

一致する直線（同一）

2直線が一致するための条件は、すべての係数が比例すること：

\boxed{\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}}

交わる直線（斜交）

2直線がちょうど1点で交わる（平行でない）ための条件：

\boxed{A_1 B_2 - A_2 B_1 \ne 0}

直線の法線形（正規形）

直線の法線形は次のとおりです：

x \cos \omega + y \sin \omega - p = 0

ここで：

$\omega$ ：法線ベクトルと $x$ 軸の正の向きとのなす角（ $0^\circ \leq \omega < 360^\circ$ ）
$p$ ：原点から直線への垂線の長さ（常に $p \geq 0$ ）

$法線形 – equationzone.com$

一般形から法線形への変換

一般形 $Ax + By + C = 0$ から法線形を得るには、両辺を $\sqrt{A^2 + B^2}$ で割り、 $C$ と符号が逆になるように符号を選んで $p \geq 0$ を保証します：

\frac{A}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}x + \frac{B}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}y + \frac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} = 0

符号は、 $\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \leq 0$ となるように選びます。これにより、 $p = -\dfrac{C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}} \geq 0$ が保証されます。

法線形の応用

点と直線の距離（絶対距離）

点 $P_1(x_1, y_1)$ と直線 $Ax + By + C = 0$ との（常に非負の）垂直距離は：

d(P_1, \mathscr{L}) = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

点と直線の距離 – equationzone.com

点と直線の有向距離

有向距離 $d$ は、法線ベクトル $(A, B)$ の向きに依存して符号を持ちます：

d = \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

有向距離 – equationzone.com

title: 重要  
分母は常に正です。$d$ の符号は分子のみに依存し、点が**法線ベクトル** $(A, B)$ の向きに対してどちら側にあるかを示します：
- $d > 0$：点は法線ベクトルの向き側にある。
- $d < 0$：点は反対側にある。

特殊例：

直線が原点を通らない（ $C \ne 0$ ）場合：
- $d > 0$ ： $P_1$ と原点が直線の反対側にある。
- $d < 0$ ：同じ側にある。
直線が原点を通る（ $C = 0$ ）場合：
- $d > 0$ ： $P_1$ は直線の「上側」（ $(A, B)$ の向き）にある。
- $d < 0$ ：「下側」にある。

title: 注：  
有向距離の符号は**分子のみ**で決まります。分母には $\pm$ を**含めません**。現代の標準では、分母は常に**正**とします。

2直線の角の二等分線

2直線 $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ と $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ に対して、角の二等分線は、2直線から等距離にある点の軌跡です：

\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

絶対値を外すと、2本の二等分線が得られます：

\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

- **+** は、単位法線ベクトルの和の方向を含む角（多くの場合、**鋭角**）の二等分線。  
- **–** は**鈍角**の二等分線。

$角の二等分線 – equationzone.com$

平行な2直線間の距離

平行な2直線 $\mathscr{L}_1: Ax + By + C_1 = 0$ と $\mathscr{L}_2: Ax + By + C_2 = 0$ （ $A$ と $B$ が同じ）の間の距離は：

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

平行線間の距離 – equationzone.com

title: 注：  
この公式は、両方の直線が**同一の係数** $A$ と $B$ を持つことを前提としています。

三角形の面積

頂点 $P_1(x_1, y_1)$ 、 $P_2(x_2, y_2)$ 、 $P_3(x_3, y_3)$ で構成される三角形の面積は：

\text{面積} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|

または行列式を用いて：

\text{面積} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \right|

三角形の面積 – equationzone.com

2点を通る直線の行列式形

点 $P_1(x_1, y_1)$ と $P_2(x_2, y_2)$ を通る直線の方程式は：

\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0

直線の族（直線系）

与えられた直線に平行な直線の族

直線 $Ax + By + C = 0$ が与えられたとき、それに平行なすべての直線の族は：

Ax + By + k = 0 \quad \text{（} k \in \mathbb{R} \text{）}

$平行直線の族 – equationzone.com$

与えられた直線に垂直な直線の族

与えられた直線の傾きが $m$ のとき、それに垂直な直線の傾きは $-\dfrac{1}{m}$ です。これらが定点 $(x_0, y_0)$ を通る場合：

y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)

一般形：元の直線が $Ax + By + C = 0$ のとき、それに垂直な直線はすべて $Bx - Ay + k = 0$ の形をとります。

$垂直直線の族 – equationzone.com$

1点で交わる直線の族（共点直線系）

交わる2直線 $\mathscr{L}_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ と $\mathscr{L}_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ が与えられたとき、それらの交点を通るすべての直線の族は：

A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0 \quad \text{（} \lambda \in \mathbb{R} \text{）}

title: 注：  
$\lambda = -1$ の場合、文脈によっては無限遠直線や退化した場合を表すことがあります。

$共点直線の族 – equationzone.com$