円

定義

円（えん）とは、平面上で一つの定点（中心）からの距離が一定であるすべての点の集合です。この一定の距離を半径と呼びます。

円の要素

![円の要素](https://res.cloudinary.com/dze1acg2c/image/upload/v1766501620/equationzone/sa9eg8jjqzul5sszd3co.png)
- **中心**（$C$）：円の内側にある固定点で、円周上のすべての点から等距離にある。
- **半径**（$r = CU$）：中心から円周上の任意の点までの距離。
- **直径**（$d$）：中心を通る弦。$d = 2r$ を満たす。
- **弦**（$\overline{MN}$）：円周上の任意の2点を結ぶ線分。
- **弧**：円周上の2点の間の部分。
- **接線**：円と**ちょうど1点で交わる**直線。
- **割線**：円と**2つの異なる点で交わる**直線。

円の方程式

1. 標準形（中心が (h,k)(h, k)）

標準形（中心が ）

C:(x−h)2+(y−k)2=r2\boxed{\mathscr{C}:(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2}

これは、中心 (h,k)(h, k)、半径 r>0r > 0 の円の方程式です。

2. 原点を中心とする場合（基本形）

原点を中心とする場合

C:x2+y2=r2\boxed{\mathscr{C}: x^2 + y^2 = r^2}

特殊例：

  • r=1r = 1 のとき：x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 → 単位円。
  • r=0r = 0 のとき：x2+y2=0x^2 + y^2 = 0 → 点 (0,0)(0, 0) のみを表す。

座標軸に接する円

  • xx 軸に接する円：
    中心 (h,k)(h, k)、半径 r=∣k∣r = |k| →

    (x−h)2+(y−k)2=k2(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2

    x 軸に接する円

  • yy 軸に接する円：
    中心 (h,k)(h, k)、半径 r=∣h∣r = |h| →

    (x−h)2+(y−k)2=h2(x - h)^2 + (y - k)^2 = h^2

    y 軸に接する円

3. 媒介変数表示（パラメータ表示）

中心 C=(x0,y0)C = (x_0, y_0)、半径 rr のとき、円周上の任意の点 MM は次のように表されます：

媒介変数表示

{x=x0+rcos⁡θy=y0+rsin⁡θただし θ∈[0,2π)\begin{cases} x = x_0 + r \cos \theta \\ y = y_0 + r \sin \theta \end{cases} \quad \text{ただし } \theta \in [0, 2\pi)

ここで θ\theta は正の xx 軸から測った角度です。

4. 極座標の方程式

  • 一般の円（中心が (ρ0,φ0)(\rho_0, \varphi_0)、半径 rr）：

極座標の方程式

ρ2−2ρρ0cos⁡(φ−φ0)+ρ02=r2\rho^2 - 2\rho\rho_0\cos(\varphi - \varphi_0) + \rho_0^2 = r^2 

title: 注：
一部の教科書ではプラス符号を使う場合がありますが、上記の形は余弦定理と一致しており、一貫性の観点からこちらが推奨されます。
  • 特殊例：極（原点）を通り、中心が極軸上（φ=0\varphi = 0）にある円：

極座標 – 特殊例

ρ=2rcos⁡φ\boxed{\rho = 2r \cos \varphi}

5. 一般形の方程式

x2+y2+Dx+Ey+F=0\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0}

  • 中心：(−D2, −E2)\left(-\dfrac{D}{2},\ -\dfrac{E}{2}\right)
  • 半径：r=(D2)2+(E2)2−Fr = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F}
title: 実円の条件
$$\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F > 0$$
- 等号が成り立つ場合：**点円**（ただ1点のみ）を表す。
- 負の場合は：**虚円**（実数解なし）を表す。

円の決定

円を一意に定めるには、3つの独立した条件が必要です。代表的な場合：

  • 一直線上にない3点。
  • 中心と半径。
  • 中心と円周上の1点。
  • 2点およびそのうち1点における接線。
  • 1点および2本の接線。

これらの条件を標準形または一般形に代入し、連立方程式を解きます。

円の束（円族）

2つの円：

C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0\begin{aligned} \mathscr{C}_1 &: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 \\ \mathscr{C}_2 &: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 \end{aligned}

が与えられたとき、それらの交点を通るすべての円の集合（円の束）は次式で表されます：

C1+λC2=0(λ∈R, λ≠−1)\mathscr{C}_1 + \lambda \mathscr{C}_2 = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R},\ \lambda \ne -1)

すなわち：

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0

円の束

title: 注：
$\mathscr{C}_1 - \mathscr{C}_2 = 0$ は**根軸**（radical axis）を表します。これは、2円に対する冪（べき）が等しい点の軌跡であり、直線になります。

円の接線

1. 円周上の点 P(x1,y1)P(x_1, y_1) における接線

  • 原点を中心とする円（x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2）の場合：

xx1+yy1=r2x x_1 + y y_1 = r^2

  • 中心が (h,k)(h, k) の円の場合：

(x−h)(x1−h)+(y−k)(y1−k)=r2(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2

2. 直線が円に接する条件

直線 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 と、中心 (h,k)(h, k)・半径 rr の円について、
この直線が円に接するための必要十分条件は、中心から直線への垂線距離が半径に等しいこと：

∣Ah+Bk+C∣A2+B2=r\frac{|Ah + Bk + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r

座標変換

1. 座標軸の平行移動（平行移動）

座標軸を平行移動し、新しい原点を (h,k)(h, k) に置くと、座標の関係は：

{x=x′+hy=y′+kまたは逆に{x′=x−hy′=y−k\begin{cases} x = x' + h \\ y = y' + k \end{cases} \quad \text{または逆に} \quad \begin{cases} x' = x - h \\ y' = y - k \end{cases}

座標軸の平行移動

この変換により、一般形の線形項が消去され、標準形に変形できます。

2. 座標軸の回転

座標軸を角度 θ\theta だけ回転させると、旧座標 (x,y)(x, y) と新座標 (x′,y′)(x', y') の関係は：

{x=x′cos⁡θ−y′sin⁡θy=x′sin⁡θ+y′cos⁡θ\begin{cases} x = x' \cos\theta - y' \sin\theta \\ y = x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{cases}

座標軸の回転

3. 2次曲線における xyxy 項の消去

一般の2次方程式

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

において、混合項 xyxy を消去するには、座標軸を角度 θ\theta だけ回転させます。その θ\theta は次の式を満たします：

tan⁡(2θ)=BA−C（ただし A≠C のとき）\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} \quad \text{（ただし } A \ne C \text{ のとき）}

A=CA = C の場合は、θ=45∘\theta = 45^\circ とします。

title: 注：
**円は回転対称性のため、$xy$ 項を含みません**。しかし、この手法は他の2次曲線（楕円、双曲線、放物線）の解析に不可欠であるため、座標変換の文脈でここに記載します。
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