重要な定積分表

1. 指数関数の積分

1.1 $x^n e^{-ax}$ の形の積分

$$\int_0^\infty x^n e^{-ax} \, dx = \frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}}, \quad a > 0,\ n > -1.$$

$n$ が正の整数の場合：

$$\int_0^\infty x^n e^{-ax} \, dx = \frac{n!}{a^{n+1}}.$$

$$\int_0^\infty x^n e^{-ax^2} \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2a^{(n+1)/2}}, \quad a > 0,\ n > -1.$$

特殊な場合：

• $n = 2k$（偶数の場合）：

  $$\int_0^\infty x^{2k} e^{-ax^2} \, dx = \frac{(2k-1)!! \sqrt{\pi}}{2^{k+1} a^{k+1/2}}.$$

• $n = 2k+1$（奇数の場合）：

  $$\int_0^\infty x^{2k+1} e^{-ax^2} \, dx = \frac{k!}{2a^{k+1}}.$$

1.2 ガウス積分

$$\int_0^\infty e^{-a^2 x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2a}, \quad a > 0.$$

$$\int_0^\infty x^2 e^{-a^2 x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4a^3}, \quad a > 0.$$

$$\int_0^\infty e^{-a^2 x^2} \cos(bx) \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2a} e^{-b^2/(4a^2)}, \quad a > 0.$$

1.3 指数分母を含む積分

$$\int_0^\infty \frac{x}{e^x - 1} \, dx = \frac{\pi^2}{6}.$$

$$\int_0^\infty \frac{x}{e^x + 1} \, dx = \frac{\pi^2}{12}.$$

$$\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin x}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{1}{a}\right), \quad a > 0.$$

1.4 対数を含む積分

$$\int_0^\infty e^{-x} \ln x \, dx = -\gamma,$$

ここで $\gamma \approx 0.5772$ はオイラー・マスケローニ定数です。

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2. 三角関数の積分

2.1 正弦と余弦のべき乗の積分

$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2\alpha+1} x \cos^{2\beta+1} x \, dx = \frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}{2\Gamma(\alpha+\beta+2)} = \frac{1}{2} B(\alpha+1, \beta+1),$$

$\alpha > -1, \beta > -1$ で有効です。

2.2 $\frac{\sin(ax)}{x}$ の形の積分

$$\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x} \, dx = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & a > 0, \\ -\frac{\pi}{2}, & a < 0. \end{cases}$$

$$\int_0^\infty \frac{\tan(ax)}{x} \, dx = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & a > 0, \\ -\frac{\pi}{2}, & a < 0. \end{cases}$$

2.3 三角関数の組み合わせの積分

$$\int_0^\infty \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x} \, dx = \ln\left(\frac{b}{a}\right), \quad a,b > 0.$$

$$\int_0^\infty \frac{\sin x \cos(ax)}{x} \, dx = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & |a| < 1, \\ \frac{\pi}{4}, & |a| = 1, \\ 0, & |a| > 1. \end{cases}$$

$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \, dx = \int_0^\infty \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.$$

2.4 有理関数を含む積分

$$\int_0^\infty \frac{x \sin(bx)}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} e^{-a|b|} \cdot \operatorname{sgn}(b).$$

$$\int_0^\infty \frac{\cos(ax)}{1 + x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} e^{-|a|}.$$

$$\int_0^\infty \frac{\sin^2(ax)}{x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} |a|.$$

2.5 フレネル積分

$$\int_{-\infty}^\infty \sin(x^2) \, dx = \int_{-\infty}^\infty \cos(x^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.$$

2.6 楕円積分

$$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 x}} \, dx = \frac{1}{2k} \ln\left(\frac{1+k}{1-k}\right), \quad |k| < 1.$$

$$\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 x}} \, dx = \frac{1}{k} \arcsin k, \quad |k| < 1.$$

$$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 x}} \, dx = \frac{1}{k^2} (K - E), \quad |k| < 1.$$

$$\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 x}} \, dx = \frac{1}{k^2} [E - (1-k^2)K], \quad |k| < 1.$$

ここで $K = K(k)$ および $E = E(k)$ は、第一種および第二種完全楕円積分です。

$$\int_0^\pi \frac{\cos(nx)}{1 - 2b\cos x + b^2} \, dx = \frac{\pi b^n}{1-b^2}, \quad |b| < 1,\ n \in \mathbb{N}_0.$$

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3. 対数関数の積分

3.1 [0,1] での積分

$$\int_0^1 \ln(\ln x) \, dx = -\gamma.$$

$$\int_0^1 \frac{\ln x}{x-1} \, dx = \frac{\pi^2}{6}.$$

$$\int_0^1 \frac{\ln x}{x+1} \, dx = -\frac{\pi^2}{12}.$$

$$\int_0^1 \frac{\ln x}{x^2-1} \, dx = -\frac{\pi^2}{8}.$$

$$\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{8} \ln 2.$$

$$\int_0^1 \left[\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right]^a \, dx = \Gamma(a+1), \quad a > -1.$$

3.2 対数を含む三角積分

$$\int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2.$$

$$\int_0^{\pi/2} x \ln(\sin x) \, dx = -\frac{\pi^2}{8} \ln 2.$$

$$\int_0^{\pi/2} \sin x \ln(\sin x) \, dx = \ln 2 - 1.$$

$$\int_0^\pi \ln(a \pm b\cos x) \, dx = \pi \ln\left(\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2}}{2}\right), \quad a \geq b > 0.$$

$$\int_0^\pi \ln(a^2 - 2ab\cos x + b^2) \, dx = \begin{cases} 2\pi \ln a, & a \geq b > 0, \\ 2\pi \ln b, & b \geq a > 0. \end{cases}$$

$$\int_0^{\pi/2} \ln(\tan x) \, dx = 0.$$

$$\int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan x) \, dx = \frac{\pi}{8} \ln 2.$$

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4. 代数関数の積分

4.1 ベータ積分

$$\int_0^1 x^\alpha (1-x)^\beta \, dx = B(\alpha+1, \beta+1) = \frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)},$$

$\alpha > -1, \beta > -1$ で有効です。

4.2 有理関数を含む積分

$$\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x)x^a} = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}, \quad 0 < a < 1.$$

$$\int_0^\infty \frac{dx}{(1-x)x^a} = -\pi \cot(\pi a), \quad 0 < a < 1.$$

$$\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x^b} \, dx = \frac{\pi}{b \sin\left(\frac{\pi a}{b}\right)}, \quad 0 < a < b.$$

4.3 その他の積分

$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^a}} = \frac{\sqrt{\pi}\, \Gamma\left(\frac{1}{a}\right)}{a\, \Gamma\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{2}\right)}.$$

$$\int_0^1 \frac{dx}{1+2x\cos a + x^2} = \frac{a}{2\sin a}, \quad 0 < a < \pi.$$

$$\int_0^\infty \frac{dx}{1+2x\cos a + x^2} = \frac{a}{\sin a}, \quad 0 < a < \pi.$$

title: 重要な注意事項
1. **特殊関数：**
   - $\Gamma(x)$：ガンマ関数（第二種オイラー積分）。
   - $B(x,y)$：ベータ関数、$B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$。
   - $K(k), E(k)$：第一種および第二種完全楕円積分。
   - $\gamma$：オイラー・マスケローニ定数 $\approx 0.5772$）。

2. **収束条件：** すべての公式には、積分の収束に必要な条件が明示的に含まれています。

3. **積分間の関係：** 一部の積分は関連しています（例えば、25と9、26と6、27と7）。

**参考文献：** E. Goursat, *Cours d'analyse mathématique*, 第II巻；特殊関数の標準表。

Practice Problems

Level I

Level II

Level III