División algebraica

Efectúe la siguiente división

$$\frac{10x^5 + 3x^4 - 17x^3 - x^2 - 5}{2x^3 + 3x^2 - x - 2}$$

y determine la suma del cociente con el residuo.

A) $-x^2-3x+4$
B) $x^2-15x+4$
C) $-x^2-15x-4$
D) $-x^2-15x+4$
E) $x^2+6x-13$

Determine el residuo de la siguiente división

$$\frac{x^4+4}{x^2-2x+2}$$

A) $x+1$
B) $x-1$
C) $2x-1$
D) $2x+1$
E) 0

Si la división exacta

$$\frac{Ax^3+(A-1)x^2+(A-2)x+A-3}{Bx^2+C}$$

genera un cociente $q_{(x)}=x-1$. Determine el valor de $A^2$.

A) 3/2
B) 1/2
C) -3/2
D) 4/9
E) 1/4

Respecto a la siguiente división

$$(15x^5+25x^4-18x^3-18x^2+17x-11) \div (3x+5)$$

¿qué se puede afirmar?

A) El residuo no es constante.
B) La suma de coeficientes del cociente es 6.
C) Es una división exacta.
D) $q_{(x)}=5x^4-6x^3+4x-3$ es el cociente.
E) El cociente carece de término cúbico.

Al dividir $\frac{P_{(x)}}{x-2}$ se obtiene como cociente $q_{(x)}=x^2+ax+2$, resto $r_{(x)}=-5$; además, $P_{(1)}=-11$. Indique la alternativa correcta.

A) $P_{(0)}=-5$
B) $P_{(x)}=x^3+x^2-4x+9$
C) $P_{(x)}=x^3-9$
D) $P_{(x)}=x^3+x^2-4x-9$
E) $P_{(2)}=0$

Determine el resto de

$$\frac{(x-4)^7+(x-5)^5+7}{(x-4)(x-5)}$$

A) $2x+2$
B) $-2x+2$
C) $3x-5$
D) $5x-3$
E) $2x-2$

Si $\frac{x^{n+2}+bx^{2n+1}+cx^{3n-2}}{ax^{n+1}+x-2}$, $a \neq 0$, genera un cociente de grado 7, calcule el grado del dividendo aumentado en $n$.

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 18

Si el cociente de la división

$$\frac{x^{15}+x^{13}+x+1}{x^2-x-1}$$

tiene la forma $q_{(x)}=a_0x^{13}+a_1x^{12}+a_2x^{11}+...+a_{13}$, halle el valor de $\frac{a_3+a_2}{a_0+a_1}$.

A) 9
B) 7
C) 7/2
D) 11/2
E) 10

Si la división algebraica

$$\frac{x^n+x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1}{x-1}$$

genera un cociente $q_{(x)}$, tal que $q_{(1)}=210$, determine el valor de $n$.

A) 10
B) 19
C) 15
D) 20
E) 210

Determine el término central del polinomio
$P_{(x)}=nx+(n-1)x^2+(n-2)x^3+...+2x^{n-1}+x^n$, si se sabe que el resto que resulta de dividir $\frac{P_{(x)}}{x-1}$ es 153.

A) $11x^7$
B) $10x^8$
C) $9x^9$
D) $8x^{10}$
E) $7x^{11}$

Al dividir $(3x^{40}-mx+2)$ entre $(x-1)$ se obtiene un cociente cuyos coeficientes suman 115. Calcule el valor de $m$.

A) 120
B) 2
C) 10
D) 3
E) 5

Calcule el resto de la siguiente división.

$$\frac{(x+2)^2-x(x+1)(x+3)(x+4)}{x^2+4x+3}$$

A) 1
B) $-2x+1$
C) $x+21$
D) $3x-2$
E) $2x$

Al efectuar la división

$$\frac{3ax^4-4dx^3-2cx^2+2x+2}{3x^2+2x-a}$$

se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 30 y un resto idéntico a $(5ax+a+2), a \neq 0$.
Determine el valor de $\frac{a}{q_{(1)}-a}$, donde $q_{(x)}$ es el cociente.

A) 1
B) $4^{-1}$
C) -1
D) $-4^{-1}$
E) 4

El polinomio $P_{(x)}=ax^5-bx^4+cx^3-7x^2+3x+2$ es divisible por $(2x^2-3x+2)$. Además, se sabe que la suma de coeficientes del cociente es 7. Calcule el valor de $(a+bc)$.

A) 112
B) -105
C) 111
D) 114
E) -121

Dado el esquema de Horner de una división algebraica

$$\begin{array}{r|rrrr:rr} * & * & * & * & * & a & 1 \\ \hline 3 & & * & * & & & \\ a & & & * & * & & \\ & & & & * & 4 & \\ & & & & & * & * & \\ \hline & * & * & * & b & 8 & 2 & \end{array}$$

calcule el mayor valor de $a^2+b^2$.
A) 1/9
B) 27/9
C) 82/9
D) 1/81
E) 2

Sea $P_{(x)} = \frac{x^6-2x^5+3}{x-2}$, si $M=\{x \in Z / P_{(x)} \in Z\}$. Indique la alternativa correcta respecto al conjunto $M$.

A) $M \subset \{1; 3\}$
B) $\{3; 1; 5; 0; -1\} \subset M$
C) $M = \{x/x^2+2013=0\}$
D) $M = \{-1; 1; 3; 5\}$
E) $M \subset \{1; 2; 3; 4; 5\}$

El cociente y residuo de la división

$$\left(\frac{1}{b^2}\right)x^{51} + \left(\frac{1}{a^2}\right)x^{37} + 2x - 2$$

son $(c_0x^{50}+c_1x^{49}+c_2x^{48}+...+c_{49}x+c_{50})$ y $-5$, respectivamente, donde $\sum_{i=0}^{50} c_i = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \land a,b \in R$.
Calcule el valor de $a+b$.

A) 2/3
B) 3/4
C) 3/2
D) -1/2
E) 5

Luego de dividir el polinomio $(x^{2013}-1)$ entre el polinomio $(x^2+1)(x^2+x+1)$ se obtiene de residuo $r_{(x)}$. Determine el valor de $r_{(4)}$.

A) 77
B) 105
C) -65
D) 41
E) -32