Logaritmos

Halle el equivalente de la expresión $J$.

$$J = \ln\left(\frac{xy^2+y^2}{xy}\right)$$

A) $\ln y^2 + \ln(x+1) + \ln(xy)$
B) $2\ln y + \ln(x-1) + \ln(xy)$
C) $\ln y^2 - \ln(x-1) - \ln x$
D) $\ln y + \ln(x+1) - \ln x$
E) $\ln y + \ln(x-1) - \ln x$

Considere $x > 0$ y $x \neq 1$ para simplificar la siguiente expresión.

$$\log_x x\sqrt{x} + \log_{\frac{3}{2}}\left(2\log_x x^{\frac{3}{4}}\right) + \log_{\sqrt{x}} \sqrt[3]{x^2} - \log_{\sqrt{2}} \sqrt[4]{4}$$

A) 25/12
B) 17/6
C) 13/12
D) 3/4
E) 4/3

Determine el valor de $J$.

$$J = \log_{\sqrt{2}} \sqrt[3]{4} + \log^{2}_{0.\overgroup{6}} \left(\frac{9}{4}\right) + \left(\log_{\sqrt[3]{4}} 2\sqrt{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$$

A) 6
B) $3\sqrt{2}$
C) $2\sqrt{3}$
D) 8
E) 10

Dada la ecuación

$$\log(2x-1)^n + \log(x-1)10^{\log n} = n$$

halle $x$ si se sabe que $n$ es cualquier entero positivo y $\log$ es el logaritmo en base 10.

A) 6
B) 3
C) 4
D) 2
E) 3/2

Determine la solución de la siguiente ecuación logarítmica.

$$\log_2\left(\frac{x+3}{x-1}\right) - 1 = \log_2\left(\frac{5}{3}\right) - \log_2(x-5)$$

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Dados los números

$$a = \sqrt[4]{10}^7 \quad \text{y} \quad C_k = 1 + \frac{1}{k}$$

halle el valor de la siguiente expresión.

$$\log_a C_1 + \log_a C_2 + \log_a C_3 + \dots + \log_a C_{99}$$

A) 8/7
B) 12/7
C) 7/5
D) 8/5
E) 13/4

Si $n$ es el número cuyo logaritmo en base $\sqrt[3]{2}$ es 9. Halle: $n^2 + 2$.

A) 66
B) 51
C) 38
D) 102
E) 83

Si $\log_3 2 = \beta$, calcule el valor de $\log_{12} 54$ en términos de $\beta$.

A) $\frac{1-\beta}{1+2\beta}$
B) $\frac{1+\beta}{1-\beta}$
C) $\frac{1+3\beta}{1-\beta}$
D) $\frac{3+\beta}{1+2\beta}$
E) $\frac{1+2\beta}{1+3\beta}$

Luego de resolver la ecuación

$$\log_n 25 = \log 10 + x^{\log_x 5}$$

tal que $n = \sqrt[3]{\frac{3}{\log_{32} x}}$, halle el valor de $x+3$.

A) 8
B) 9
C) 11
D) 13
E) 14

Halle las raíces en la siguiente ecuación.

$$\sqrt{\log x} = \log \sqrt{x}$$

A) $x_1=1; x_2=10^4$
B) $x_1=10^{-2}; x_2=10^2$
C) $x_1=10^{-1}; x_2=10^3$
D) $x_1=10^{-1}; x_2=10^2$
E) $x_1=1; x_2=10^5$

Calcule el valor de $(x^2)^{\log 20 ^{(x-15)}}$ si se sabe que

$$\log_8 \left\{ 2 + \log_2 \left[ \log_4(x-4) - \frac{3}{2} \right] \right\} = 0$$

A) 20
B) 4
C) 25
D) 36
E) 5

Determine la suma de soluciones de la ecuación

$$x^{(5+\log_3 x)} = 81^{-1}$$

A) 8/28
B) 2/81
C) 28/81
D) 26/81
E) 29/81

Simplifique la siguiente expresión.

$$\frac{(\log 2)^3 + (\log 5)^3 - 1}{(\log 2)^2 + (\log 5)^2 - 1}$$

A) 1
B) -1
C) -2/3
D) 3/2
E) $\log 2 \log 5$

Si $x_0$ es solución de la ecuación:

$$\log_{\sqrt{2}} [\log_{1/2} (\log_2 x - 1) + 2] = 0$$

Calcule: $\sqrt[3]{x_0}$.

A) 4
B) 2
C) 5
D) 6
E) 3

Resolver el sistema:

$$\begin{cases} \log_y x = \frac{y}{x} \\ y = 1 + \log_x 2 \end{cases}$$

donde: $x \neq y$; indicar el valor de:

$$P = \sqrt[y]{x + y^2}$$

A) 4
B) $\frac{1}{2}$
C) $\frac{1}{4}$
D) 2
E) 1

Resolver:

$$\log_a x + \log_y b = 3$$

$$\log_x a + \log_b y = \frac{3}{2}$$

Encontrar uno de los valores de $x \cdot y$.

A) $a^3 b^3$
B) $ab^2$
C) $\sqrt{ab}$
D) $ab$
E) $a^2 b$

Después de resolver el sistema:

$$\log_5 x + 3^{\log_3 y} = 7$$

$$x^y = 5^{12}$$

Obtener la suma del mayor valor de 'x', con el menor valor de 'y'.

A) 140
B) 132
C) 127
D) 628
E) 129

En la siguiente ecuación:

$$6^{\log_2 3} + 10^{\log x} = 3^{\log_2 6} + \log_{\sqrt{x}} x$$

Halle el valor de '$x$'.

A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1

Dado que $\log_{100} 3 = \alpha$ y $\log_{100} 2 = \beta$, halle el valor de $\log_5 6$ en términos de $\alpha$ y $\beta$.

A) $\frac{\alpha+\beta}{1-\beta}$
B) $\frac{2(\alpha+\beta)}{1-2\beta}$
C) $\frac{\alpha+2\beta}{1-2\beta}$
D) $\alpha + \frac{\beta}{2}$
E) $\alpha - \frac{\beta}{2}$

¿Cuántas cifras tiene el número $3^{100}$ si se sabe que $\log 3 = 0.47$?

A) 100
B) 72
C) 48
D) 47
E) 94

Si $\text{antilog}_x 2 + \text{colog}_x 2 = 0$, calcule el valor de $x^6$.

A) 6
B) 4
C) 8
D) 64
E) 16

Calcule el valor de $\Psi$.

$$\Psi = 6\log_{9} 12\log_{24} 18 - 2\log_9 12 - \log_{24} 18$$

A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 12

Calcule el valor de $y$ si se sabe que

$$x^{y^{\left(\frac{\log \log_x y}{\log y}\right)}} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-\log_4 2}$$

A) 1
B) -2
C) 0
D) 2
E) 1/2

Sean $a, b$ y $c$ números positivos diferentes de la unidad, de modo que

$$\log_b^{-1} a + \log_b^{-1} c = x$$

Simplifique la siguiente expresión.

$$c^{\log_b \left(\frac{a^x}{b}\right)}$$

A) $b$
B) $a$
C) $b/a$
D) $a-b$
E) $bc$

Sabiendo que:

$$\frac{1 + \log_2 (x - 4)}{\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3})} = 1$$

Halle el valor de: $\log_{\sqrt[3]{25}} x$

A) $\frac{3}{4}$
B) $\frac{4}{3}$
C) $\frac{3}{2}$
D) $\frac{2}{3}$
E) 2

Halle el dominio de la función $f$, cuya regla de correspondencia es:

$$f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{\sqrt{2 - \ln x}}$$

A) $\langle 1; 4 ]$
B) $[1; e^2 ]$
C) $[1; e^3 )$
D) $\langle 1; e^2 \rangle$
E) $\langle 0; e^3 \rangle$

Si:

$$\log_a bc = x^n$$

$$\log_b ac = y^n$$

$$\log_c ab = z^n; \forall n \in \mathbb{N}$$

Calcular el valor de:

$$P = \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{1}{x^n+1} + \frac{1}{y^n+1} + \frac{1}{z^n+1}}$$

A) $n^2$
B) $\frac{1}{n}$
C) $\frac{n}{2}$
D) 2n
E) n

Resolver para 'x':

$$\log_{\sqrt[b]{2}} x^a + \log_{8x} x^{ab} = 4b$$

A) $\sqrt[b]{8}$
B) $\sqrt[b]{2}$
C) $\sqrt[ab]{8}$
D) $\sqrt[ab]{2}$
E) $\sqrt[a]{8}$

Hallar la suma de las dos primeras raíces positivas de la ecuación:

$$3 \log(\tan x) + \log(\sin 2x) = 0$$

donde: $x \in \left\langle 0; \frac{\pi}{2} \right\rangle \cup \left\langle \pi; \frac{3\pi}{2} \right\rangle$

A) $\frac{9\pi}{4}$
B) $\frac{3\pi}{2}$
C) $3\pi$
D) $2\pi$
E) $\frac{5\pi}{4}$

Reconocer la menor solución de:

$$\frac{1}{5 - 4 \log(x+1)} + \frac{5}{1 + 4 \log(x+1)} = 2$$

A) $\sqrt{10}$
B) $\sqrt{10} - 1$
C) 9
D) 8
E) $\sqrt{10} + 1$

Resolver el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} \log_4 z + \log_{16} x + \log_{16} y = 2 & \dots\dots(I) \\ \log_3 y + \log_9 z + \log_9 x = 2 & \dots\dots(II) \\ \log_2 x + \log_4 y + \log_4 z = 2 & \dots\dots(III) \end{cases}$$

Hallar un valor para 'x'.

A) $\frac{2}{3}$
B) $\frac{4}{5}$
C) $\frac{1}{3}$
D) $\frac{3}{2}$
E) $\frac{5}{4}$

Hallar la mayor solución:

$$\sqrt{1 + \log x} = \log^2 x - 1$$

A) $\sqrt[3]{10}$
B) $100\sqrt{10}$
C) $\sqrt{10}^{\sqrt{5}-1}$
D) $10\sqrt{10}$
E) $\sqrt{10}^{\sqrt{5}+1}$

¿Que valor asume 'b' en:

$$\log_{bx} (bx^{-1}) + \log_b^2 x = 1$$

con la condición de que sus tres raíces forman progresión aritmética?

A) 2
B) $\frac{\sqrt{2}-1}{3}$
C) $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
E) 4

Si se define una función cuya regla de correspondencia es:

$$f(x) = \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$$

Hallar el equivalente de:

$$P = f(a) + f(b)$$

A) $f\left(\frac{2ab}{a-b}\right)$
B) $f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$
C) $f\left(\frac{a+b}{1+a^2}\right)$
D) $f\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$
E) $f\left(\frac{a+b}{1+ab}\right)$

Halle el valor de 'x' en:

$$\sqrt{99}^{x(1 + \log_{99} x)} = \sqrt[3]{66}$$

A) $\frac{1}{27}$
B) $\frac{1}{9}$
C) $\frac{1}{3}$
D) $\frac{2}{3}$
E) $\frac{3}{2}$