Polynomials

Indique cuáles de las siguientes expresiones matemáticas representan a un polinomio.

$$P_{(x;y)} = 2x^2y^5 - 4xy^7 + 6$$

$$Q_{(x;y)} = x^6 - y^6 + \sqrt{z}$$

$$R_{(x)} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x + 2}$$

$$S_{(x)} = \frac{x^3-7}{x+6}$$

$$T_{(x;y)} = 5x - \sqrt{x+ 3}$$

A) $P, Q$ y $R$
B) $R, S$ y $T$
C) $P, Q$ y $T$
D) solo $P$
E) $P$ y $Q$

Si $P_{(x)} = 5x^{n-3} + 7x^{\frac{n+1}{2}} - nx^{12-2n}$ es un polinomio de grado 3, determine el valor de $1+2+...+n$.

A) 10
B) 55
C) 21
D) 15
E) 17

Dada las expresiones matemáticas $P_{(x)} = x^3$ y $Q_{(x)} = \sqrt[3]{x}$ halle el valor numérico de $Q_{[P_{(3)}]} + P_{[Q_{(8)}]}$.

A) 7
B) 35
C) 18
D) 12
E) 11

Calcule el coeficiente del equivalente de la expresión

$$M(x) = \left( \frac{x^n}{4096} \right)^4 \left[ \frac{\sqrt[n]{2x \cdot \sqrt[n]{2x \cdot \sqrt[n]{2x \cdot \sqrt[n]{2x} } } } }{\sqrt[n]{2x \div \sqrt[n]{2x \div \sqrt[n]{2x \div \sqrt[n]{2x}}}}} \right]^{n^4}$$

si se reduce a un monomio de grado 72.

A) 8
B) 4
C) 32
D) 1 024
E) 16

Sabiendo que se verifico la siguiente identidad: $x^5 - 4x^3 + 2x^2 - 3x + 2 \equiv a(x-1)^5 + b(x-1)^4 + c(x-1)^3 + d(x-1)^2 + e(x-1) + f$
calcule el valor de

$$M = \frac{a+c+e}{f}$$

A) -1
B) 1
C) 2
D) $\frac{1}{2}$
E) $-\frac{1}{2}$

Sabiendo que $x^{a^2-bc}$; $x^{b^2-ac}$; $x^{c^2-ab}$; $abc$ son los términos 1ro, 7mo, 13ro y último respectivamente de un polinomio $P(x)$ completo y ordenado, calcule
$(a+b+c)^{-1} \left\{ \frac{1}{b-c} + \frac{2}{a-c} \right\}$

A) $\frac{1}{2}$
B) 2
C) $\frac{1}{4}$
D) 6
E) $\frac{1}{3}$

Sabiendo que el polinomio

$$P(x) = (ab-ac+n^2)x^4 + (bc-ab+6n)x^2 + (ac-bc+9)$$

es idéntico al polinomio

$$F(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_nx^n$$

el cual se anula para cualquier valor asignado a x, halle $\frac{b(a+c)}{ac}$.

A) 2
B) $\frac{1}{2}$
C) 1
D) 4
E) $\frac{1}{4}$

Sea $P$ un polinomio tal que

$$P(xy) = P(x) + P(y) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$

si además $P(10)=0$, calcule $P(7) + P(99) + P(1001)$.

A) 1
B) 3
C) 1 107
D) 0
E) 6

Calcule $\sqrt[2-b]{\frac{n}{a} + 5}$ sabiendo que el polinomio completo y ordenado

$$P(x) = 2x^{a^{2a}-13} + 4x^{a-b} + 6x^{a-b-1} + \dots + n$$

tiene $(a^a)$ términos.

A) 2
B) $\frac{1}{2}$
C) 4
D) 3
E) $\frac{1}{4}$