Binomio de Newton

Determine el valor reducido de

$$C_0^n + 3C_1^n + 9C_2^n + 27C_3^n + \dots n+1 \text{ sumandos}$$

A) $2^{3n}$
B) $4^n$
C) $2^{n+1}$
D) $2^{n+2}$
E) $n2^n$

Se dispone de 3 señoritas de ojos verdes, 4 señoritas de ojos negros y 2 señoritas de ojos pardos. Se desea formar un grupo de 6 señoritas, donde al menos una de ellas tenga ojos verdes. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo considerando las señoritas diferentes entre sí?

A) 681
B) 168
C) 56
D) 28
E) 83

Dada la expresión

$$C_0^n \cos n\theta + C_1^n \cos(n-1)\theta + C_2^n \cos(n-2)\theta + \dots + C_n^n$$

convierta a producto $\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$.

A) $2^n \cos^n\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \sin\left(n\frac{\theta}{2}\right)$
B) $2^n \cos^n\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(n\frac{\theta}{2}\right)$
C) $2^n \sin^n\left(\frac{\theta}{2}\right)$
D) $2^n \cos^n\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cot n\theta$
E) $2^n \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cot\left(\frac{3\theta}{n}\right)$

Si al ser expansionada la expresión

$$R(x) = (x^{a+2b} + x^{a+b})^{a^2+2b} \quad (b>0)$$

se obtiene un polinomio completo y ordenado. Entonces se trataría de un polinomio

A) constante.
B) lineal.
C) cuadrático.
D) cúbico.
E) cuártico.

Si el producto de multiplicar la sumatoria de todos los coeficientes que ocupan lugares impares al desarrollar $(a+b)^n$ con $\left(C_0^n+C_1^n+C_2^n+\dots+C_n^n\right)$ y con la de todos aquellos coeficientes de lugares pares obtenidos al desarrollar $(x+y)^n$ es de 1024; halle el valor de $m^3+n^3+p^3$, sabiendo que $m, n, p$ son pares consecutivos.

A) 12
B) 48
C) 36
D) 288
E) 298

Encuentre el coeficiente del término que tenga como parte literal $a^2b^5x^3y^2$ en $(a+b+x+y)^{12}$

A) $\frac{11!}{5!}$
B) $\frac{12!}{4!}$
C) $\frac{12!}{4!5!}$
D) $\frac{11!}{2 \times 5!}$
E) $\frac{10!}{3!4!5!}$

Sabiendo que en la expresión

$$C_0^n a^n ; 3C_1^n a^{n-1} ; 3^2 C_2^n a^{n-2} ; \dots ; 3^n C_n^n$$

los términos que ocupan los lugares noveno y décimo tienen coeficientes iguales, averigüe de qué expresión binómica surgirá.

A) $(a+3)^{10}$
B) $(a+3)^{11}$
C) $(a-3)^{11}$
D) $(a+3)^{12}$
E) $(a-3)^{12}$

Si se verifica que $\pi^{\sqrt{x-5}} \le 3^{\sqrt{5-x}+0,141592}$ calcule el número de términos del desarrollo de $(a+b+c+d)^x$.

A) 28
B) 32
C) 56
D) 72
E) 81

En el desarrollo del binomio

$$B(x;t) = \left[\frac{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2}{t^5} + \frac{t^7}{x}\right]^n$$

se tiene dos términos consecutivos. El primero contado de izquierda a derecha es independiente de x, mientras que el otro es independiente respecto a t. Halle los lugares que estos estarían ocupando.

A) 23 y 24
B) 24 y 25
C) 25 y 26
D) 26 y 27
E) No existen dichos términos

¿Para qué valor de $n$ aparece en el desarrollo

$$\left(\sqrt{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[4]{c}\right)^n$$

un término de la forma $Aabc$?

A) 12
B) 9
C) 16
D) 8
E) 15

En el desarrollo de $(1-x)^{-2}$ existe un término tal que al sumar su coeficiente con el exponente de $x$ se obtiene 39. ¿Qué lugar ocupa dicho término?

A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22

Si aparece en el desarrollo de

$$P(x;y;z) = \left(\sqrt{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[4]{z}\right)^n$$

un término conteniendo xyz, halle la suma de coeficientes de P.

A) 12
B) 25
C) $3^9$
D) $6^3$
E) $3^4$

Determine el número de soluciones reales de $f(x)=0$; siendo

$$f(x) = \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\dots+\frac{1}{72}\right)x^{10} - \frac{g(x)}{C_{10}^{20} 6^{10}} + x^4 - 5$$

donde $g(x)$ es el término central del desarrollo de $(3x+2)^{20}$.

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5