Productos Notables e Identidades Algebraicas

Si se tiene que

$$(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + mx + n$$

$$(x-5)^3 = x^3 - px^2 + qx - 125$$

determine el valor de $m+n+p+q$.

A) 20
B) -15
C) 40
D) -10
E) 110

Si $x + \frac{1}{x} = \sqrt[3]{2}$, determine el valor de $\frac{x^6+1}{x^3}$.

A) $3 - 2\sqrt[3]{3}$
B) $3 - 2\sqrt[3]{2}$
C) $2 - 3\sqrt[3]{2}$
D) $1 - 2\sqrt[3]{3}$
E) $1 - 2\sqrt[3]{2}$

Se tienen las dimensiones de un campo deportivo.
Determine el área del gramado de fútbol si $x = \sqrt[3]{200}$.
(Dimensiones: $(x^2+x+1)$ m y $(x-1)$ m)

A) $2\sqrt[3]{200} \text{ m}^2$
B) $199 \text{ m}^2$
C) $\sqrt[3]{400} \text{ m}^2$
D) $215 \text{ m}^2$
E) $169 \text{ m}^2$

Determine el equivalente reducido de $\sqrt[3]{M}$ si

$$M = \frac{a^6 - b^6}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} + b^3; \quad a \neq -b$$

A) $a$
B) 0
C) -2
D) $b$
E) 2

Si se cumple que

$$\begin{cases} (a+1)^3 + (b-1)^3 = 18 \\ a+b=3 \end{cases}$$

Determine el valor de $(a+1)(b-1)$.

A) 6
B) -9
C) 1
D) 2
E) -5

Si:

$$\left(\frac{1}{x}\right)^{2013} + \left(\frac{1}{y}\right)^{2013} + \left(\frac{1}{z}\right)^{2013} = \frac{1}{x^{2013} + y^{2013} + z^{2013}}$$

$x \neq -y$, $x \neq -z$, $y \neq -z$

reducir:

$$\frac{x^{4026} - y^{4026}}{z^{4026}} + \frac{x^{4026} - z^{4026}}{y^{4026}} + \frac{z^{4026} - y^{4026}}{x^{4026}}$$

A) 1
B) 2
C) -1
D) 0
E) -2

Sea $a$ un número que verifica $a^2 - 7a - 1 = 0$. Determine:

$$P = \frac{\sqrt[3]{51}(a^3 - 364)\sqrt[3]{a^{11}}}{2\sqrt[3]{a^4+ 1} }$$

A) 1
B) 2/3
C) 1/2
D) 1/3
E) 3

Siendo $\{a; b; c; d\} \subset \mathbb{R}^+$; con $(a+b+c+d)(bcd+acd+abd+abc) = 16abcd$

Calcule:

$$\frac{\sqrt[4]{a^4 + b^4 + c^4 + d^4}}{a+b+c+d}$$

A) $\sqrt{2}$
B) 1
C) 4
D) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
E) $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Si: $\{x; y; z\} \subset \mathbb{R} - \{0\} \land x+y+z = \frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} + \frac{yz}{x}$

Halle el valor de:

$$\frac{((xy)^7 + (xz)^7 + (yz)^7)(xyz)^{21}}{x^{77} + y^{77} + z^{77}}$$

A) $-\frac{1}{2}$
B) -1
C) 1
D) $\frac{1}{3}$
E) $\frac{1}{2}$

A partir de $\frac{a^4 + b^2c^2}{a} = \frac{b^4 + a^2c^2}{b} = \frac{c^4 + a^2b^2}{c} = -abc$ siendo $\{a; b; c\} \subset \mathbb{R} - \{0\}$

Halle el valor de:

$$\sqrt[a+b+c]{\left[\frac{(a^6+b^6)(b^6+c^6)(c^6+a^6)}{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}\right]^a}$$

A) $a^9$
B) $b^{12}$
C) $a^{15}$
D) abc
E) $a^3$

Siendo $x, y, z$ tres números reales diferentes de cero que verifican:

$$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = (x+y-2z)^2 + (y+z-2x)^2 + (z+x-2y)^2$$

Simplifique:

$$\frac{x^{11} + y^{11} + z^{11} + 11x^3y^3z^3(xy+yz+zx)}{xyz(x^4+y^4+z^4)^2}$$

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Si $x+y+z=1$ halle el valor de

$$\frac{x^3+y^3+z^3+3(xy+xz+yz)-1}{xyz}$$

A) 1
B) 2
C) 3
D) $\frac{1}{2}$
E) $\frac{1}{3}$

Si $\frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} = \frac{0.5}{x+y+z}$

Halle el valor de:

$$\frac{64(x+y+z)^6 - (x+y)^6 - (y+z)^6 - (z+x)^6}{(x+y)^3(y+z)^3 + (y+z)^3(z+x)^3 + (z+x)^3(x+y)^3}$$

A) 2
B) -3
C) -2
D) 3
E) 6

Dadas las relaciones:

$$a = (a-b)^2 + b(a+1)$$

$$b = (b-c)^2 + c(b+1)$$

$$c = (c-a)^2 + a(c+1)$$

Simplifique:

$$\frac{(a^6-b^6)^2}{c^6 - 4a^3b^3}$$

A) $a^3b^3$
B) $b^3c^3$
C) $a^3+b^6$
D) $a^3c^3$
E) $c^6$

Suponiendo que: $\left(\frac{x^2}{2y}\right)^3 + \left(\frac{y^2}{2x}\right)^3 = 3(x^3+y^3)$ ; $x^6-y^6 = 6x^4y^4 \cdot \sqrt[3]{x^3+y^3}$

Calcule:

$$\frac{x^{-3}-y^{-3}}{3}$$

A) 1
B) $-\frac{2}{3}$
C) -3
D) $\frac{2}{3}$
E) $-\frac{1}{3}$

A partir de: $\frac{a^2+1}{a^2} + \frac{b^2+1}{b^2} + \frac{c^2+1}{c^2} = 2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

Donde $\{a; b; c\} \subset \mathbb{R} - \{0\}$. Calcule

$$\frac{(a^3+b^3+c^3)^3(a^6+b^6+c^6)^6}{(a^9+b^9+c^9)^9}$$

A) 1
B) $\frac{1}{3}$
C) 3
D) 27
E) $\frac{1}{27}$

Sabiendo que:

$$A = (x+y-1)^3 + 3(x+y)(x+y-1)$$

$$B = (x+y+1)^3 - 3(x+y)(x+y+1)$$

$$C = \left[(x+y)^3+1\right]^2 + \left[(x+y)^3-1\right]^2$$

¿A qué es igual $2AB-C$?

A) 4
B) 2
C) -4
D) -2
E) 0

Tres números reales diferentes $a, b$ y $c$ verifican la siguiente condición:

$$a = \sqrt[3]{p+qa} \quad ; \quad b = \sqrt[3]{p+qb} \quad ; \quad c = \sqrt[3]{p+qc}$$

Determine

$$\frac{a^5+b^5+c^5}{pq}$$

A) -5
B) 9
C) $\frac{2}{3}$
D) 6
E) -6

Si $x+y+z=1 \land xy+yz+xz=xyz$. Calcule:

$$(x^9+y^9+z^9)\left(\frac{1}{x^{11}+y^{11}+z^{11}+1}\right)$$

A) 1
B) 2
C) $\frac{1}{2}$
D) $\frac{1}{3}$
E) 3

Si $a+b+c+d=0$. Calcule

$$\frac{abc+abd+acd+bcd}{a^3+b^3+c^3+d^3}$$

A) 1
B) $\frac{1}{2}$
C) 2
D) $\frac{1}{3}$
E) $\frac{1}{9}$

Si se cumple:

$$\frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{a+c+d} + \frac{c}{a+b+d} + \frac{d}{a+b+c} = 1$$

Halle el valor de:

$$\frac{a^2}{b+c+d} + \frac{b^2}{a+c+d} + \frac{c^2}{a+b+d} + \frac{d^2}{a+b+c}$$

A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) $\frac{1}{4}$

Calcule el valor de $Z$, si:

$$Z^{\frac{p+q}{p-q}} = \frac{1}{2}\left[\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right]\left[x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right]$$

cuando $x = \left[\sqrt[p-q]{\frac{a+b}{a-b}}\right]^{2pq}$

A) 1
B) 0
C) $\frac{1}{2}$
D) $\frac{(a-b)}{(a+b)}$
E) $\frac{(a+b)}{(a-b)}$

Si $\frac{a^2-bc}{bc} + \frac{b^2-ac}{ac} + \frac{c^2-ab}{ab} = 0$; $\{a; b; c\} \subset \mathbb{R}$.

Halle

$$\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c}$$

A) 2
B) 3
C) 6
D) 4
E) A $\lor$ C

Sabiendo que: $(a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = 2(a+b+c)^2$

Donde $abc \neq 0$, halle el valor de:

$$\frac{ \frac{a+3b+c}{ac} + \frac{b+3c+a}{ab} + \frac{c+3a+b}{bc} }{ a^{-1} + b^{-1} + c^{-1} }$$

A) -1
B) -4
C) -9
D) -13
E) -15

Si $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$ calcule el valor de:

$$\left( 2\left(\frac{a}{b}\right) + \left(\frac{b}{a}\right)^3 \right)^3 + \left( 2\left(\frac{b}{a}\right) + \left(\frac{a}{b}\right)^3 \right)^3$$

A) 0
B) 1
C) -1
D) 2
E) -2

Si $y^{-1} - x^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ el valor reducido de

$$\frac{16x^4y^4 + (x^2-y^2)^2}{x^4y^2 + x^2y^4}$$

será

A) 3
B) 2
C) 8
D) 4
E) 1

Sabiendo que $x^{-1} + y^{-1} + z^{-1} = 0 \land xyz \neq 0$ señale el equivalente de:

$$\sqrt[3]{ \frac{ x^9 + y^9 + z^9 - 3xyz(x^6 + y^6 + z^6) + 6x^3y^3z^3 }{ x^6 + y^6 + z^6 - 3x^2y^2z^2 } }$$

A) $xyz$
B) $x^2 + y^2 + z^2$
C) x + y + z
D) $x^3 + y^2 + z^3$
E) $(x + y + z)^3$

Si $x+y+z=1$ ; $x^3+y^3+z^3=4$. Calcule

$$\frac{1}{x+yz} + \frac{1}{y+xz} + \frac{1}{z+xy}$$

A) 3/2
B) 1
C) 3
D) -1
E) -2

Sabiendo que $abc=1$, el valor de:

$$\frac{a}{ab+a+1} + \frac{b}{bc+b+1} + \frac{c}{ac+c+1}$$

A) 3
B) -1
C) 2
D) 1
E) 0

Si se cumple que $2x^{-1} = 2 - x$.

Calcule el valor de $\left[ x^9 - (x^4+x^2+1)(x^6+x^3+1) \right]^3$

A) 0
B) 1
C) 2
D) $x^3$
E) $\frac{1}{x}$

Dadas las relaciones:

$$a+b+c=x$$

$$ab+bc+ac=4x^2$$

$$abc=3x^3$$

Determinar el valor de:

$$P = \frac{(a+b+ac)(a+2b+c)(2a+b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}$$

A) 10
B) $5-x$
C) $3+x$
D) 7
E) 9

Dadas las relaciones:

$$a+b+c=0$$

$$ab+bc+ac=1$$

$$abc \neq 0$$

Hallar el valor de:

$$\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\right)^2 + \frac{a^5+b^5+c^5}{abc}$$

A) $4a$
B) -4
C) 4
D) 0
E) $4b$

Si se sabe que:

$$(2m)^{8x}+(2m)^{-8x}=7 \quad \land \quad 0<m<\frac{1}{2}$$

Determinar el valor de:

$$P = (2m)^{-2x}-(2m)^{2x}$$

A) -2
B) 3
C) $-\frac{1}{2}$
D) 2
E) 1

Sabiendo que:

$$(a+1)(a+b)=b ; a \neq 0$$

Halle el valor de:

$$P = \sqrt[3]{a^3-3ab+b^3}$$

A) 1
B) 2
C) -1
D) -2
E) 0

Siendo:

$$P = (A+B+C+D+E)(A+B-C-D-E)$$

$$Q = (A-B+C+D-E)(A-B-C-D+E)$$

Donde: $P=Q \land$ además: $AB=\sqrt[3]{4} ; C+D=\sqrt[3]{32}$
Halle: 'E'

A) 0,5
B) 4
C) 1
D) $\sqrt[3]{2}$
E) 2

Sabiendo que:

$$x = \frac{2ab}{b^2+1} ; y = \frac{2ab}{a^2+1}$$

Además:

$$\frac{(ab+1)(a+b)}{(ab-1)(a-b)} = \frac{5}{3} ; a;b>1$$

Determinar el valor de:

$$P = \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{b+y+\sqrt{a-y}}$$

A) 2
B) 5
C) 8
D) 10
E) 1

Dadas las relaciones:

$$ab+bc+ac=-8$$

$$(a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2=16$$

Halle el valor de:

$$P = a^2b^{-1}c^{-1}+b^2c^{-1}a^{-1}+c^2a^{-1}b^{-1}$$

A) -3
B) 3
C) 1
D) -2
E) 2

Sabiendo que:

$$a = \sqrt[3]{\sqrt{10+\sqrt{99}}+\sqrt{10-\sqrt{99}}}$$

$$b = \sqrt[3]{\sqrt{10+\sqrt{99}}-\sqrt{10-\sqrt{99}}}$$

Determinar el valor de:

$$M = (a-b)(a^5+b^5)+(a+b)(a^5-b^5)$$

A) 15
B) 53
C) 125
D) 8
E) 0

Si se sabe que:

$$\sqrt[3]{A^3+3A+6B^2+2C^2}+\sqrt[3]{A^3+3A-6B^2-2C^2}=B$$

Calcular el valor de 'C' en:

$$C = \sqrt[3]{A^3+3A+6B^2+2C^2}-\sqrt[3]{A^3+3A-6B^2-2C^2}$$

A) 16
B) 32
C) 8
D) 2AB
E) 4