Problemas de Algebra

Dado

$$v_{n+1} = 3v_n - 2v_{n-1}$$

y

$$v_0 = 2, \quad v_1 = 3.$$

Demostrar que

$$v_n = 2^n + 1.$$

Sea

$$u_{n+1} = 3u_n - 2u_{n-1}$$

y

$$u_0 = 0, \quad u_1 = 1.$$

Demostrar que

$$u_n = 2^n - 1.$$

Sean $a$ y $A > 0$ números arbitrarios dados y sea

$$a_1 = \frac{1}{2}\left(a + \frac{A}{a}\right), \quad a_2 = \frac{1}{2}\left(a_1 + \frac{A}{a_1}\right), \quad \dots, \quad a_n = \frac{1}{2}\left(a_{n-1} + \frac{A}{a_{n-1}}\right).$$

Demostrar que

$$\frac{a_n - \sqrt{A}}{a_n + \sqrt{A}} = \left(\frac{a_1 - \sqrt{A}}{a_1 + \sqrt{A}}\right)^{2^{n-1}}$$

para cualquier entero $n$.

La serie de números

$$a_0, a_1, a_2, \dots$$

se forma según la siguiente ley. Los dos primeros números $a_0$ y $a_1$ son dados, siendo cada número subsiguiente igual a la semisuma de los dos anteriores. Expresar $a_n$ en términos de $a_0$, $a_1$ y $n$.

Los términos de la serie

$$a_1, a_2, a_3, \dots$$

se determinan de la siguiente manera

$$a_1 = 2 \text{ y } a_n = 3a_{n-1} + 1.$$

Hallar la suma

$$a_1 + a_2 + \dots + a_n.$$

Los términos de la serie

$$a_1, a_2, \dots$$

están relacionados por

$$a_n = k a_{n-1} + l \quad (n = 2, 3, \dots).$$

Expresar $a_n$ en términos de $a_1$, $k$, $l$ y $n$.

La sucesión $a_1, a_2, \dots$ satisface la relación $a_{n+1} - 2a_n + a_{n-1} = 1$.
Expresar $a_n$ en términos de $a_1$, $a_2$ y $n$.

Los términos de la serie

$$a_1, a_2, a_3, \dots$$

están relacionados de la siguiente manera $a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 1$.
Expresar $a_n$ en términos de $a_1$, $a_2$, $a_3$ y $n$.

Sean los pares de números

$$(a, b) \ (a_1, b_1) \ (a_2, b_2) \dots$$

obtenidos según la siguiente ley

$$a_1 = \frac{a+b}{2}, \quad b_1 = \frac{a_1+b}{2}, \quad a_2 = \frac{a_1+b_1}{2}, \quad b_2 = \frac{a_2+b_1}{2}, \dots$$

Demostrar que

$$a_n = a + \frac{2}{3}(b-a)\left(1 - \frac{1}{4^n}\right),$$

$$b_n = a + \frac{2}{3}(b-a)\left(1 + \frac{1}{2 \cdot 4^n}\right).$$

Los términos de la serie

$$x_0, y_0, x_1, y_1, x_2, y_2, \dots$$

están determinados por las relaciones

$$x_n = x_{n-1} + 2y_{n-1}\sin^2\alpha, \quad y_n = y_{n-1} + 2x_{n-1}\cos^2\alpha.$$

Además, se sabe que $x_0 = 0$, $y_0 = \cos\alpha$.
Expresar $x_n$ y $y_n$ en términos de $\alpha$.

Los números

$$x_0, x_1, x_2, \dots \quad y_0, y_1, y_2, \dots$$

están relacionados de la siguiente manera

$$x_n = \alpha x_{n-1} + \beta y_{n-1},$$

$$y_n = \gamma x_{n-1} + \delta y_{n-1} \quad (\alpha\delta - \beta\gamma \neq 0).$$

Expresar $x_n$ y $y_n$ en términos de $x_0$, $y_0$ y $n$.

Los términos de la serie

$$x_0, x_1, x_2, \dots$$

están determinados por la relación

$$x_n = \alpha x_{n-1} + \beta x_{n-2}.$$

Expresar $x_n$ en términos de $x_0$, $x_1$ y $n$.

Los términos de la serie $x_0, x_1, \dots$ están relacionados por

$$x_n = \frac{p x_{n-1} + q x_{n-2}}{p+q}.$$

Expresar $x_n$ en términos de $x_0$, $x_1$ y $n$.

Demostrar que

$$\left\{1 - \frac{x}{\alpha_1} + \frac{x(x-\alpha_1)}{\alpha_1\alpha_2} - \frac{x(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)}{\alpha_1\alpha_2\alpha_3} + \dots +\right.$$

$$\left.+ (-1)^n\frac{x(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\dots(x-\alpha_{n-1})}{\alpha_1\alpha_2\alpha_3\dots\alpha_n}\right\} \times$$

$$\times \left\{1 + \frac{x}{\alpha_1} + \frac{x(x+\alpha_1)}{\alpha_1\alpha_2} + \frac{x(x+\alpha_1)(x+\alpha_2)}{\alpha_1\alpha_2\alpha_3} + \dots +\right.$$

$$\left.+ \frac{x(x+\alpha_1)(x+\alpha_2)\dots(x+\alpha_{n-1})}{\alpha_1\alpha_2\alpha_3\dots\alpha_n}\right\} =$$

$$= 1 - \frac{x^2}{\alpha_1^2} + \frac{x^2(x^2-\alpha_1^2)}{\alpha_1^2\alpha_2^2} - \dots +$$

$$+ (-1)^n\frac{x^2(x^2-\alpha_1^2)\dots(x^2-\alpha_{n-1}^2)}{\alpha_1^2\alpha_2^2\dots\alpha_n^2}$$

Racionalizar el denominador de la fracción

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a'}+\sqrt{b'}+\sqrt{c'}}$$

si

$$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}.$$

Demostrar que

$$\log_{a_1 a_2 \dots a_n} x = \frac{1}{\frac{1}{\log_{a_1} x} + \frac{1}{\log_{a_2} x} + \dots + \frac{1}{\log_{a_n} x}}.$$

Resolver el sistema

$$(c+a)y+(a+b)z-(b+c)x=2a^3$$

$$(a+b)z+(b+c)x-(c+a)y=2b^3$$

$$(b+c)x+(c+a)y-(a+b)z=2c^3$$

si $b+c \neq 0$, $a+c \neq 0$, $a+b \neq 0$.

Resolver el sistema

$$z+ay+a^2x+a^3t+a^4=0$$

$$z+by+b^2x+b^3t+b^4=0$$

$$z+cy+c^2x+c^3t+c^4=0$$

$$z+dy+d^2x+d^3t+d^4=0$$

Resolver el sistema

$$x+y+z+u=m$$

$$ax+by+cz+du=n$$

$$a^2x+b^2y+c^2z+d^2u=k$$

$$a^3x+b^3y+c^3z+d^3u=l$$

Resolver el sistema

$$x_1-x_2-x_3-\dots-x_n=2a$$

$$-x_1+3x_2-x_3-\dots-x_n=4a$$

$$-x_1-x_2+7x_3-\dots-x_n=8a$$

$$\dots$$

$$-x_1-x_2-x_3-\dots+(2^n-1)x_n=2^n a$$

Resolver el sistema

$$x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=1$$

$$x_1+x_3+\dots+x_n=2$$

$$x_1+x_2+x_4+\dots+x_n=3$$

$$\dots$$

$$x_1+x_2+\dots+x_{n-1}=n$$

Resolver el sistema

$$\begin{cases} x \sin a + y \sin 2a + z \sin 3a = \sin 4a \\ x \sin b + y \sin 2b + z \sin 3b = \sin 4b \\ x \sin c + y \sin 2c + z \sin 3c = \sin 4c \end{cases}$$

Resolver el sistema

$$x^y = y^x$$

$$x^m = y^n.$$

Resolver el sistema

$$\frac{b(x+y)}{x+y+cxy} + \frac{c(z+x)}{x+z+bxz} = a$$

$$\frac{c(y+z)}{y+z+ayz} + \frac{a(x+y)}{x+y+cxy} = b$$

$$\frac{a(z+x)}{z+x+bxz} + \frac{b(y+z)}{y+z+ayz} = c$$

Eliminar $a$, $b$, $c$ del sistema

$$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$$

$$a^2+b^2+c^2=1$$

$$a+b+c=1.$$

Dado

$$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} = \alpha$$

$$\frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{y} = \beta$$

$$\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{z}\right) \left(\frac{y}{z} + \frac{z}{x}\right) \left(\frac{z}{x} + \frac{x}{y}\right) = \gamma.$$

Eliminar $x$, $y$ y $z$.

Demostrar que si

$$x+y+z+w=0$$

$$ax+by+cz+dw=0$$

$$(a-d)^2(b-c)^2(xw+yz) + (b-d)^2(c-a)^2(yw+zx) + (c-d)^2(a-b)^2(zw+xy) = 0,$$

entonces

$$\frac{x}{(d-b)(d-c)(b-c)} = \frac{y}{(d-c)(d-a)(c-a)} = \frac{z}{(d-a)(d-b)(a-b)} = \frac{w}{(b-c)(c-a)(a-b)}.$$

Encontrar los valores positivos de las incógnitas $x$, $y$, $u$ y $v$ que satisfacen el sistema

$$u^p v^q = a^x, \quad u^q v^p = a^y, \quad u^2 v^y = b, \quad u^y v^x = c$$

$$(a, b, c > 0 \text{ y } p^2 - q^2 \neq 0).$$