Systems of Equations

La solución de un sistema es el conjunto de valores de las incógnitas que hacen verdaderas todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo.

---

Sistema de ecuaciones lineales

Sistema lineal de dos incógnitas

---

Métodos de resolución

1. Método de reducción o eliminación

Este método consiste en eliminar una de las incógnitas combinando algebraicamente las ecuaciones.

Multiplicamos

$$b_2(I):\quad a_1b_2x+b_1b_2y=c_1b_2$$

$$b_1(II):\quad a_2b_1x+b_2b_1y=c_2b_1$$

Restando ambas ecuaciones se obtiene

$$(a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1$$

Por lo tanto

$$x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1}$$

Análogamente

$$y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}$$

---

2. Método de Cramer

Sea

$$\Delta= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$$

Si $\Delta\neq0$, el sistema tiene solución única dada por

$$x=\frac{\Delta_x}{\Delta} \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$$

donde

$$\Delta_x= \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} \qquad \Delta_y= \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}$$

---

3. Método gráfico

Cada ecuación representa una recta en el plano cartesiano.

Despejando:

$$y_1=-\frac{a_1}{b_1}x+\frac{c_1}{b_1}$$

$$y_2=-\frac{a_2}{b_2}x+\frac{c_2}{b_2}$$

La intersección de las rectas corresponde a la solución del sistema:

$$(x_0,y_0)$$

---

Análisis del sistema lineal

Consideremos el sistema

$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$$

Dependiendo del número de soluciones, el sistema puede clasificarse de la siguiente manera.

---

1. Sistema compatible determinado

Tiene una única solución.

Se cumple

$$\frac{a_1}{b_1}\neq\frac{a_2}{b_2} \qquad \Delta\neq0$$

Geométricamente:

Las rectas tienen pendientes diferentes y se intersectan en un punto.

---

2. Sistema compatible indeterminado

Tiene infinitas soluciones.

Se cumple

$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$$

y

$$\Delta=0, \quad \Delta_x=0, \quad \Delta_y=0$$

Geométricamente:

Las dos rectas coinciden.

---

3. Sistema incompatible

El sistema no tiene solución.

Se cumple

$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$$

y

$$\Delta=0, \quad \Delta_x\neq0, \quad \Delta_y\neq0$$

Geométricamente:

Las rectas son paralelas y no se intersectan.

---

Sistema lineal de tres incógnitas

Un sistema lineal de tres incógnitas tiene la forma

$$\begin{cases} a_1x+a_2y+a_3z=d_1 \\ b_1x+b_2y+b_3z=d_2 \\ c_1x+c_2y+c_3z=d_3 \end{cases}$$

---

Método de Cramer

Sea

$$\Delta= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$$

Definimos

$$\Delta_x= \begin{vmatrix} d_1 & a_2 & a_3 \\ d_2 & b_2 & b_3 \\ d_3 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$$

$$\Delta_y= \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & a_3 \\ b_1 & d_2 & b_3 \\ c_1 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}$$

$$\Delta_z= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & d_1 \\ b_1 & b_2 & d_2 \\ c_1 & c_2 & d_3 \end{vmatrix}$$

Si $\Delta\neq0$, el sistema tiene solución única

$$x=\frac{\Delta_x}{\Delta} \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta} \qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}$$

---

Análisis del sistema lineal de tres incógnitas

Consideremos el sistema anterior.

---

1. Compatible determinado

Tiene una única solución.

$$\Delta\neq0$$

---

2. Compatible indeterminado

Tiene infinitas soluciones.

$$\Delta=0 \qquad \Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0$$

---

3. Incompatible

El sistema no tiene solución.

$$\Delta=0$$

y al menos uno de los siguientes determinantes es distinto de cero

$$\Delta_x\neq0 \quad \Delta_y\neq0 \quad \Delta_z\neq0$$