Inequalities and inequations

Es una comparación que se establece entre dos números reales “$a$”, “$b$” utilizando los símbolos de la relación de orden, el cual puede ser verdadero o falso.

$\forall a \in \mathbb{R}$ solo se puede establecer una y solo una de las tres relaciones:

$$\boxed{a > 0 \quad \lor \quad a = 0 \quad \lor \quad a < 0}$$

$\forall a; b \in \mathbb{R}$ se cumple que: $(a + b) \in \mathbb{R}^+ \quad \land \quad (a \cdot b) \in \mathbb{R}^+$

$\forall a; b \in \mathbb{R}$ se tiene que: $a > b \quad \lor \quad a = b \quad \lor \quad a < b$

1. $a < b \leftrightarrow a + c < b + c$
2. Si $a > b \land b > c \rightarrow a > c$ (transitividad)
3. Si $a < b \land c < d \rightarrow a + c < b + d$
4. Si $a > b \land c > 0 \rightarrow a \cdot c > b \cdot c$
5. $a < b \rightarrow -a > -b$
6. Si $a > b \land c < 0 \rightarrow a \cdot c < b \cdot c$
7. $\forall a \in \mathbb{R}: a^2 \ge 0$
8. Si $0 \le a < b \land 0 \le c < d \rightarrow a \cdot c < b \cdot d$
9. $\forall a \neq 0: a \land a^{-1}$ tienen el mismo signo
10. $ab > 0 \leftrightarrow \big( (a > 0 \land b > 0) \lor (a < 0 \land b < 0) \big)$
11. $ab < 0 \leftrightarrow \big( (a > 0 \land b < 0) \lor (a < 0 \land b > 0) \big)$
12. Sea $ab > 0$ (tienen el mismo signo)

    $$\rightarrow a < b \Leftrightarrow \frac{1}{b} < \frac{1}{a} \qquad a < x < b \leftrightarrow \frac{1}{b} < \frac{1}{x} < \frac{1}{a}$$

13. Sea $a > b > 0 \land n \in \mathbb{Z}^+: a > b \rightarrow a^n > b^n$
14. Sea $a < b < 0 \land n \in \mathbb{Z}^+$:

    $$a < b \rightarrow a^{2n} > b^{2n}$$

    $$a < b \rightarrow a^{2n+1} > b^{2n+1}$$

15. Sean $a > 0 \land b > 0$, luego $a < x < b \rightarrow a^2 < x^2 < b^2$
16. Sean $a < 0 \land b < 0$, luego $a < x < b \rightarrow a^2 > x^2 > b^2$
17. Sean $a < 0 \land b > 0$, luego $a < x < b \rightarrow 0 \le x^2 < \max\{a^2; b^2\}$