Inequations

Inecuación lineal

P(x)=ax+b≶0;∧b∈R/a≠0P(x) = ax + b \lessgtr 0; \land b \in \mathbb{R} / a \neq 0

Esta inecuación se resuelve empleando las propiedades de las desigualdades.

Inecuación cuadrática

P(x)=ax2+bx+c≶0;∧b,c∈R/a≠0P(x) = ax^2 + bx + c \lessgtr 0; \land b, c \in \mathbb{R} / a \neq 0

Para la resolución de este tipo de inecuaciones existen 3 casos:

Primer caso: Δ>0;(a>0)\Delta > 0; (a > 0)
De P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c se obtiene a(x−x1)(x−x2)≶0a(x - x_1)(x - x_2) \lessgtr 0, ya sea factorizando o aplicando la fórmula general, luego se iguala cada factor a cero y tenemos:

x=x1∨x=x2x = x_1 \quad \lor \quad x = x_2

Donde: x1x_1 y x2x_2 son las raíces de ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
Luego para hallar su conjunto solución (C.S.) aplicamos el método de los puntos críticos.

Segundo caso: Δ=0;(a>0)\Delta = 0; (a > 0)
En este caso, P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c forma un trinomio cuadrado perfecto:

(x−x1)2≶0 (pues x1=x2)(x - x_1)^2 \lessgtr 0 \text{ (pues } x_1 = x_2 \text{)}

{ax2+bx+c>0; x∈R−{x1}ax2+bx+c≥0; x∈R{ax2+bx+c<0; x∈ϕax2+bx+c≤0; x∈{x1}\begin{cases} ax^2 + bx + c > 0; \ x \in \mathbb{R} - \{x_1\} \\ ax^2 + bx + c \ge 0; \ x \in \mathbb{R} \end{cases} \quad \begin{cases} ax^2 + bx + c < 0; \ x \in \phi \\ ax^2 + bx + c \le 0; \ x \in \{x_1\} \end{cases}

Tercer caso: Δ<0;(a>0)\Delta < 0; (a > 0)
En este caso, P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c resulta ser un trinomio positivo; es decir (x+α)2+β≶0(x + \alpha)^2 + \beta \lessgtr 0 con β>0\beta > 0; luego para:

{ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0} x∈R{ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0} x∈ϕ\begin{cases} ax^2 + bx + c > 0 \\ ax^2 + bx + c \ge 0 \end{cases} \bigg\} \ x \in \mathbb{R} \quad \begin{cases} ax^2 + bx + c < 0 \\ ax^2 + bx + c \le 0 \end{cases} \bigg\} \ x \in \phi

Inecuación polinomial de grado superior

P(x)=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+⋯+an−1x+an≶0P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n \lessgtr 0

a0;a1;a2;…an∈R/a≠0 n∈N/n≥3a_0; a_1; a_2; \dots a_n \in \mathbb{R} / a \neq 0 \ n \in \mathbb{N} / n \ge 3

Para resolver usamos el método de los puntos críticos.

Teoremas para resolver inecuaciones de grado superior: ∀a;b∈R;n∈R\forall a; b \in \mathbb{R}; n \in \mathbb{R}
i. a2nb≥0↔b≥0∨a=0a^{2n}b \ge 0 \leftrightarrow b \ge 0 \quad \lor \quad a = 0
ii. a2nb>0↔b>0∧a≠0a^{2n}b > 0 \leftrightarrow b > 0 \quad \land \quad a \neq 0
iii. a2n+1b≥0↔ab≥0a^{2n+1}b \ge 0 \leftrightarrow ab \ge 0
iv. a2n+1b<0↔ab<0a^{2n+1}b < 0 \leftrightarrow ab < 0

Inecuaciones fraccionarias

P(x)Q(x)≶0\frac{P(x)}{Q(x)} \lessgtr 0

Para resolver dicha inecuación hay que tener en cuenta que tanto P(x)P(x) y Q(x)Q(x) tienen que estar factorizados adicionalmente (Q(x)≠0Q(x) \neq 0) y de ahí aplicamos el método de los puntos críticos.

Inecuaciones Irracionales

Teoremas para resolver inecuaciones irracionales:
Teorema 1: ∀a,b∈R;n∈Z+\forall a, b \in \mathbb{R}; n \in \mathbb{Z}^+
i. a2n+b2n≤0↔a=0 ∧ b=0\sqrt[2n]{a} + \sqrt[2n]{b} \le 0 \leftrightarrow a = 0 \ \land \ b = 0
ii. a2n+b2n≥0↔a≥0 ∧ b≥0\sqrt[2n]{a} + \sqrt[2n]{b} \ge 0 \leftrightarrow a \ge 0 \ \land \ b \ge 0
iii. a2n+b2n>0↔(a≥0 ∧ b>0) ∨ (a>0 ∧ b≥0)\sqrt[2n]{a} + \sqrt[2n]{b} > 0 \leftrightarrow (a \ge 0 \ \land \ b > 0) \ \lor \ (a > 0 \ \land \ b \ge 0)
iv. a<b↔a≥0 ∧ (b>0 ∧ a<b2)\sqrt{a} < b \leftrightarrow a \ge 0 \ \land \ (b > 0 \ \land \ a < b^2)
v. a≤b↔a≥0 ∧ (b≥0 ∧ a≤b2)\sqrt{a} \le b \leftrightarrow a \ge 0 \ \land \ (b \ge 0 \ \land \ a \le b^2)
vi. a≥b↔a≥0 ∧ [b<0 ∨ (b≥0 ∧ a≥b2)]\sqrt{a} \ge b \leftrightarrow a \ge 0 \ \land \ [b < 0 \ \lor \ (b \ge 0 \ \land \ a \ge b^2)]
vii. a>b↔a≥0 ∧ [b<0 ∨ (b≥0 ∧ a>b2)]\sqrt{a} > b \leftrightarrow a \ge 0 \ \land \ [b < 0 \ \lor \ (b \ge 0 \ \land \ a > b^2)]

Teorema 2: ∀a,b∈R;n∈Z+\forall a, b \in \mathbb{R}; n \in \mathbb{Z}^+
i. ab2n≥0↔(a=0) ∨ (a>0 ∧ b≥0)\sqrt[2n]{ab} \ge 0 \leftrightarrow (a = 0) \ \lor \ (a > 0 \ \land \ b \ge 0)
ii. ab2n<0↔a>0 ∧ b<0\sqrt[2n]{ab} < 0 \leftrightarrow a > 0 \ \land \ b < 0
iii. ab2n+1≥0↔ab≥0\sqrt[2n+1]{ab} \ge 0 \leftrightarrow ab \ge 0
iv. ab2n+1<0↔ab<0\sqrt[2n+1]{ab} < 0 \leftrightarrow ab < 0

Inecuaciones exponenciales

aP(x)≶aQ(x)a^{P(x)} \lessgtr a^{Q(x)} (con la base a>0a > 0)
Si a>1a > 1:

aP(x)≤aQ(x)↔P(x)≤Q(x)aP(x)<aQ(x)↔P(x)<Q(x)\begin{aligned} a^{P(x)} &\le a^{Q(x)} \leftrightarrow P(x) \le Q(x) \\ a^{P(x)} &< a^{Q(x)} \leftrightarrow P(x) < Q(x) \end{aligned}

Si 0<a<10 < a < 1:

aP(x)≤aQ(x)↔P(x)≥Q(x)aP(x)<aQ(x)↔P(x)>Q(x)\begin{aligned} a^{P(x)} &\le a^{Q(x)} \leftrightarrow P(x) \ge Q(x) \\ a^{P(x)} &< a^{Q(x)} \leftrightarrow P(x) > Q(x) \end{aligned}

VALOR ABSOLUTO

∣x∣={x ; x≥0−x ; x<0|x| = \begin{cases} x \ ; \ x \ge 0 \\ -x \ ; \ x < 0 \end{cases}

Teoremas ∀x,y∈R\forall x, y \in \mathbb{R}

  1. ∣x∣≥0|x| \ge 0
  2. x≤∣x∣x \le |x|
  3. ∣x∣=∣−x∣|x| = |-x|
  4. ∣x2∣=∣x∣2|x^2| = |x|^2
  5. x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|
  6. ∣x⋅y∣=∣x∣⋅∣y∣|x \cdot y| = |x| \cdot |y|
  7. ∣xy∣=∣x∣∣y∣;y≠0\left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|}; y \neq 0
  8. ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣|x + y| \le |x| + |y| (Desigualdad triangular)

Propiedades:
Si ∣x+y∣=∣x∣+∣y∣↔xy≥0|x + y| = |x| + |y| \leftrightarrow xy \ge 0
Si ∣x−y∣=∣x∣+∣y∣↔xy≤0|x - y| = |x| + |y| \leftrightarrow xy \le 0

Ecuaciones con valor absoluto
Forma general: ∣x∣=b↔b≥0∧(x=b∨x=−b)|x| = b \leftrightarrow b \ge 0 \land (x = b \lor x = -b)
Forma alternativa: ∣x∣=∣y∣↔(x+y)(x−y)=0|x| = |y| \leftrightarrow (x+y)(x-y) = 0

Inecuaciones con valor absoluto
Primera forma: ∣x∣>b↔x>b∨x<−b|x| > b \leftrightarrow x > b \lor x < -b
Segunda forma: ∣x∣<b↔b>0∧(−b<x<b)|x| < b \leftrightarrow b > 0 \land (-b < x < b)
Tercera forma: ∣x∣≥b↔x≥b∨x≤−b|x| \ge b \leftrightarrow x \ge b \lor x \le -b
Cuarta forma: ∣x∣≤b↔x≥0∧−b≤x≤b|x| \le b \leftrightarrow x \ge 0 \land -b \le x \le b

MÁXIMO ENTERO

Sea x∈Rx \in \mathbb{R}, el “máximo entero” de xx se denota por [x][x] y se define:

[x]=n↔[x]=max⁡{n∈Z/n≤x}[x] = n \leftrightarrow [x] = \max\{n \in \mathbb{Z} / n \le x\}

Propiedades fundamentales del máximo entero:
Sea x∈Rx \in \mathbb{R} y n∈Zn \in \mathbb{Z}, entonces:

[x]=n↔n≤x<n+1[x] = n \leftrightarrow n \le x < n + 1

Propiedades del máximo entero:

  1. ∀x∈R:[x]≤x<[x]+1\forall x \in \mathbb{R} : [x] \le x < [x] + 1
  2. ∀x∈R:0≤x−[x]<1\forall x \in \mathbb{R} : 0 \le x - [x] < 1
  3. [x]=x↔x∈Z[x] = x \leftrightarrow x \in \mathbb{Z}
  4. [x]<x↔x∉Z[x] < x \leftrightarrow x \notin \mathbb{Z}
  5. [[x]]=[x];∀x∈R[[x]] = [x] ; \forall x \in \mathbb{R}
  6. ∀x∈R;n∈Z:[x+n]=[x]+n\forall x \in \mathbb{R}; n \in \mathbb{Z} : [x + n] = [x] + n
    Nota: [n−x]≠n−[x][n - x] \neq n - [x]

Inecuaciones con máximo entero: sea ∀x∈R;n∈Z\forall x \in \mathbb{R}; n \in \mathbb{Z}

  1. [x]≤n↔x<n+1[x] \le n \leftrightarrow x < n + 1
  2. [x]<n↔x<n[x] < n \leftrightarrow x < n
  3. [x]≥n↔x≥n[x] \ge n \leftrightarrow x \ge n
  4. [x]>n↔x≥n+1[x] > n \leftrightarrow x \ge n + 1