Binomio de Newton

Es el producto de los “n” primeros números naturales y se representa con el símbolo $n!$.

$$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n, \quad \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 1 \quad \text{y} \quad 0! = 1$$

• $n!$ (notación de Kramp)
• $n! = \prod_{i=1}^{n} i$ (notación de Gauss)
• $\underline{|n}$ (notación inglesa)

$$(2n)!! = 2^n (n!)$$

$$(2n+1)!! = \frac{(2n+1)!}{2^n (n!)}; \quad n \in \mathbb{N}$$

Sean $m \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$ tales que $m \geq n$. Llamamos coeficiente binomial al símbolo $\binom{m}{n}$, donde:

• $m$ es el índice superior ($\in \mathbb{R}$)
• $n$ es el índice inferior ($\in \mathbb{N}$)

Si $m, n \in \mathbb{N}$ y $m \geq n$, se calcula como:

$$\binom{m}{n} = \frac{m!}{n!\,(m-n)!}$$

1. Propiedad degradativa:

   $$n! = n \cdot (n-1)!; \quad n \in \mathbb{N}$$

2. Si $a! = b! \Rightarrow a = b$, con $a, b \in \mathbb{N}$.

3. Si $a! = 1 \Rightarrow a = 1$ o $a = 0$.

4. Suma de términos:

   $$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! - 1, \quad n \in \mathbb{N}$$

   Es decir:

   $$\sum_{i=1}^{n} i \cdot i! = (n+1)! - 1$$

5. Descomposición en fracciones:

   $$\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}; \quad n \in \mathbb{N}$$

6. Suma de fracciones:

   $$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$$

   Es decir:

   $$\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{(i+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$$

1. $\binom{n}{0} = 1$, para $n \in \mathbb{N}$.
   Si $n, k \in \mathbb{N}$ y $n < k$, entonces $\binom{n}{k} = 0$.

2. $\binom{0}{0} = 1$. Además, para cualquier $n \in \mathbb{R}$, $\binom{n}{0} = 1$.

3. $\binom{n}{1} = n$, para cualquier $n \in \mathbb{R}$.

4. Propiedad de complementarios:

   $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, \quad \text{si } n, k \in \mathbb{N}, n \geq k$$

5. Suma de coeficientes binomiales consecutivos:

   $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}, \quad \text{si } k \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{R}$$

Si $x$ e $y$ son números reales y $n$ es un entero positivo, se verifica:

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$

En el desarrollo de $(x+y)^n$, el término que ocupa la posición $k+1$ es:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$

donde $x, y \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$ y $0 \leq k \leq n$.

Si $(x+y)^{2n}$, el término central (único) es:

$$T_{\text{central}} = \binom{2n}{n} x^n y^n$$

Si $(x+y)^{2n+1}$, los dos términos centrales son:

$$T_{\text{1er central}} = \binom{2n+1}{n} x^{n+1} y^n$$

$$T_{\text{2do central}} = \binom{2n+1}{n+1} x^n y^{n+1}$$

Observa que:

$$\binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1}$$

Los términos $T_{k+1}$ y $T'_{k+1}$ equidistantes de los extremos cumplen:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$

$$T'_{k+1} = \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$$

• En $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$,
  haciendo $x = y = 1$, se obtiene:

  $$\sum \text{coeficientes de } (x+y)^n = 2^n$$

• En $(x-y)^n$, haciendo $x = y = 1$, se obtiene:

  $$\sum \text{coeficientes de } (x-y)^n = 0$$

$$\sum \text{exponentes} = (\alpha + \beta) \cdot \frac{n(n+1)}{2}, \quad n \in \mathbb{N}$$